miércoles, 1 de mayo de 2013

ESPERANZA MATEMATICA

Esperanza matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
media
Los nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Ejemplos

1.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

2.- Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = 1/4. Es desfavorable

3.- En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º.
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.

Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28:
z1= (22 – 26) / 4 = -1
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es:
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328
Y el número esperado (esperanza) de días es:
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días


4.-

Ejemplo. Si X es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, encontremos el valor esperado de la variable aleatoria Y = X2 .
La función de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si xÎ{1,2,3,4,5,6}. La función de probabilidad
de Y = X2 es entonces f(y) = 1/6 si yÎ{1,4,9,16,25,36}, así E(Y) = 1/6*1 + 1/6*4 + 1/6*9 + 1/6*16 + 1/6*25 + 1/6*36 = 12*P(X=1) + 22*P(X= 2) + 32*P(X= 3) + 42*P(X= 4) + 52*P(X= 5) + 62*P(X= 6) = å X2*P(X=x)

Ejemplo. Supongamos ahora que X es una v.a. que tiene función de probabilidad f(x) = 1/6 si xÎ{-2,-1,0,1,2,3}y Y = X2 . La función de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si yÎ{1, 4} y f(y) = 1/6 si yÎ{0, 9}. Entonces E(Y) = 2/6*1 + 2/6*4 + 1/6*0 + 1/6*9. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: E(Y) = 2/6*1 + 2/6*4 + 1/6*0 + 1/6*9 = 1*P(Y=1) + 4*P(Y=4) + 0*P(Y=0) + 9*P(Y=1) = 12*P(X=1 ó X=-1) + 22*P(X=2 ó X=-2) + 02*P(X=0) + 32*P(X=3) = å X2*P(X=x)

A través de estos ejemplos vemos que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y, sólo tenemos que usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la
función Y = g(X) = X2 . Esto es cierto aún en el caso en que la función no es uno-uno.

LA VARIANZA

La varianza la denotamos mediante V(X) o VAR(X) o s2, y se calcula como,

Obsérvese que del mismo modo en que se demuestra la relación se comprueba que
V(X)=E(X2)-(E(X))2
Similarmente, V(a+bX)=b2.V(X)=b2s2

Ejemplo. Consideramos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad,

Obtener el valor de la constante c para que sea una función de probabilidad, los valores de las funciones de probabilidad y distribución para todos los valores de x, y P(x=3), y P(x≤3).

Solución: Para ello consideramos,
,
ya que tenemos la suma de una progresión geométrica de razón menor que la unidad:

Calculemos sucesivos valores de f(x) y F(x),
x
2
3
4
5
f(x)
3/4
3/16
3/64
3/256
F(x)
0.75
0.94
0.987
0.999
….

Y como se observa que: si x crece, f(x) decrece y F(x) crece hasta llegar a su máximo valor 1
P(X=3)=f(3)=0.047                P(X≤3)=0.987

Ejemplo para la variable aleatoria continua, función de densidad

Hallar: El valor de la constante c para que sea una función de densidad, la función de distribución, el valor medio, y la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7
Solución. Consideremos,
La cual debe ser de valor 1, entonces c/4=1, esto es, c=4

luego, la función de distinción acumulada es F(x)=x4 para 0<x≤1, 0 en valores x≤0 y 1 para x≥1

El valor medio es
P(0.2≤x≤0.7)=F(0.7)-F(0.2)=0.72-0.22=0.24

Ejemplo, Calcule la varianza de la variable aleatoria x, que representa el número de puntos obtenidos con un dado.
m=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6
m`2=E(X2)=12*1/6+22*1/6+32*1/6+42*1/6+52*1/6+62*1/6

Sabemos que s2=m`2-m2=((91/6)-(7/2)2=35/12

10.-n pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
11.-Calcular la varianza.
xi fi Ni xi · fi i · fi
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
  50   610 7526

12.-Media aritmética

media

13.-Varianza

varianza

3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
14.- Calcular desviación típica.

xi fi xi · fi xi2 · fi
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
  120 843 6633
media y varianza

15.-Calcular la varianza de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
  [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2

  xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 468.75
[15, 20) 17.5 5 87.5 1537.3
[20, 25) 22.5 7 157.5 3543.8
[25, 30) 27.5 4 110 3025
[30, 35) 32.5 2 65 2112.5
    21 457.5 10681.25

16.-Media

media

17.-Varianza

varianza

18.-Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
  xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
    42 1 820 88 050
media
varianza

19.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 2.00)
Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2
Calcula la varianza.

  xi fi Fi xi · fi xi2 · fi
[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976
[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.453
[1.80, 1.85) 1.825 4 8 7.3 13.324
[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.128
[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53
[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802
    23   42.925 80.213

20.-Media

media

Varianza

desviación

7.Dada la distribución estadística:
  [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
fi 3 5 7 8 2 6
Calcular la varianza.

  xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞)   6 31
    31  

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Varianza

Si no hay media no es posible hallar la varianza.

8.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

xi xi2
2 4
3 9
4 16
6 36
8 64
10 100
33 229

1

media

2

varianza
 

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