domingo, 28 de abril de 2013

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES, DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES




Eventos no excluyentes
  • Sacar un 5  y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.
  • Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.
  • Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.
Eventos mutuamente excluyentes
Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas.
Fórmula
La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B".
 
  • Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.
  • Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.
  • Sacar una carta de tréboles roja.  Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.
No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.
EVENTOS DEPENDIENTES, INDEPENDIENTES Y CONDICIONALES
Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)


Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB)
Ejercicios
1.     si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6
2.    se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2
3.    En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100
4.     en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704
5.    Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.

p= 16/27 * 15/26 * 14/25 * 13/24 * 12/23 = 52416/968760

Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y que salga sello es 1/3.
Si sale cara se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al azar un número del 1 al 5.
Hallar la probabilidad de que se escoja un número par.

P=2/3 * 4/9 + 1/3 * 2/5
= 8/27 + 2/15
=58/135
6.    Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja.
7.    Considere los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p, los eventos A y B son independientes?
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes entonces P(AB) = 0
P(A
B) = P(A) + P(B) - P(AB) ..... probabilidad de la unión.
Sustituyendo los valores tenemos:
0.7 = 0.4 + P - 0
P = 0.3
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes P = 0.3.

Para que los sucesos Ay B sean independientes entonces P(A
B) = P(A)P(B)
P(A
B) = P(A)P(B) ..... condición de eventos independientes.
Sustituyendo los valores tenemos:
P(A
B) = 0.4*P P = P(AB) / 0.4
La relación anterior se cumple con la única condición que P(A
B) ≠ 0 (no excluyentes).
Para que los sucesos A y B sean independientes P = P(A
B) / 0.4 con P(AB) ≠ 0
8.    Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?
Aquí,
J: Júpiter se alineará con Marte
A: Su tirada saldrá águilas
Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es
P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05.
9.    Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
                             
10. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
                             
11. - Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.
Solución.
El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos
elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en responder al
azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un
suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera
pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación
podemos escribir el espacio muestral como:
E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}
- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.
a) Escriba el espacio muestral.
b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.
c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.
d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.
e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso
imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?
Solución
a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:
(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)
(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)
(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)
(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)
b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio
muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay unarespuesta
falo, lo llamaremos A y será:
A= {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}
c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:
B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}
d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente
los siguientes resultados:
A È B = B A U B = A B- A = {(V, V, V, V)}
 
 
12.  Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?
Solución
a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la rojay la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 Ç R2).Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La
probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos
favorables (uno), partido por casos posibles (tres)
P(R1 Ç R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9
b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son independientes.
P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9
 
 
13. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución: 

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
 
14. i yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
15. En 15 minutos podemos determinar como máximo si cuatro donantes son del tipo requerido, ya que en el peor de los casos si los 4 primeros no son del tipo adecuado ya no nos daría tiempo a la transfusión, (ya que 5 pruebas * 3 minutos = 15 minutos) asi que tenemos que deternimar la probabilidad que como máximo el cuarto donante sea del tipo buscado, para esto necesitamos la distribución geometrica, 

P(X=x) = p*(1-p)^(x-1)

donde

p=0.20 (20%)

y debemos calcular

P(X<=4) =

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=1) = 0.2*(1-0.2)^(1-1) = 0.2
P(X=2) = 0.2*(1-0.2)^(2-1) = 0.16
P(X=3) = 0.2*(1-0.2)^(3-1) = 0.128
P(X=4) = 0.2*(1-0.2)^(4-1) = 0.1024

Y sumando las probabilidades

P(X<=4) = 0.5904

Que tambien se puede calcular directamente sabiendo que

P(X<=x) = 1-(1-p)^x

P(X<=4) = 1-(1-0.2)^4 = 0.5904 como anteriormente.

Por lo tanto la probabilidad que sobreviva es de 0.5904 (59.04%)
16. Al lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades, 
es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2? 
"Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna vez
se obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se obtiene 
el 2}, su complemento es 
Ac={ninguna vez se obtiene el 2}
P(Ac)=P(no sale 2 en 1er lanzam.)• P(no sale 2 en 2º 
lanzam.)•P(no sale 2 en 3er lanzam.)=5/6•5/6•5/6 
=125/216 0,58. 
Luego, como P(A)+P(Ac)=1 
P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene
apostar a favor.
 
 
17. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra?
a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la
primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.
b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar
la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.
a) En este caso los eventos son independientes ya
que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no
afecta al otro.
Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B:
"sacar una bolita negra", entonces, usando
P(A B)=P(A)•P(B), P(A B)=2/5•3/5=6/25
b) Si no hay reposición, los eventos son dependientes
ya que la bolita no es repuesta a la tómbola, por lo que
ocupamos
P(A B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10
 
 
18. Repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).
a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la
primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola
b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar
la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.
a) Usando la definición, el número total de casos
posibles es 5•5=25 y el número de casos favorables
es 2•3+3•2=12(una blanca y una negra ó una negra
y una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,
usando las propiedades,
P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después negra)
+ P(sacar negra)•P(sacar después
blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%
b) Número de casos posibles: 5•4=20 y el número de
casos favorables =2•3+3•2=12, luego,
P(B)=12/20=3/5=60%.
O bien, usando las propiedades
P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar negra/sabiendo que
ha salido blanca) +P(sacar negra)•P(sacar
blanca/sabiendo que ha salido negra)
=2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%
 
 
19. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia?
Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)
Sea B: aprobar la parte práctica, (P(B)=0,72)
Debemos calcular la prob. de A y B, P(A B).
Usando P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B), despejamos P(A B):
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) y reemplazando,
P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%
 
20. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

21.-Si un solo dado es lanzado al aire y el jugador puede ganar si obtiene el punto 1 o si obtiene el punto 6, entonces en tal caso estamos hablando de dos sucesos que son «mutuamente excluyentes entre sí», porque en un solo lanzamiento del dado no pueden aparecer los dos eventos al mismo tiempo (o cae 1, o cae 6, o cae cualquier otro resultado del dado). Por consiguiente, si el jugador quiere calcular la probabilidad de ganar en el lanzamiento del dado puede asumir que el evento A es la aparición del punto 1 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, mientras que el evento B es la aparición del punto 6 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, y por lo tanto la probabilidad de ganar se calcula mediante la sumatoria ya indicada: P(A,B) = P(A)+P(B) = 1/6+1/6 = 2/6, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar en el lanzamiento del dado tiene 2 eventos a su favor sobre 6 eventos posibles:


22.- supongamos que un mazo normal de 52 cartas es mezclado y que un jugador puede ganar un premio si en la primera carta extraída del mazo aparece un as (A) o un rey (K), caso en el cual ambos sucesos también son mutuamente excluyentes entre sí porque la carta extraída o tiene un valor o tiene el otro pero no puede tenerlos ambos. En consecuencia, si se asume que el evento A es la extracción de cualquier as (A) con una probabilidad de ocurrencia de 4/52, y el evento B es la extracción de cualquier rey (K) que tiene una probabilidad de ocurrencia de 4/52, entonces la probabilidad de ganar obteniendo un as o un rey en un solo ensayo es de: P(A,B) = P(A)+P(B) = 4/52+4/52 = 8/52, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar tiene 8 eventos favorables (cuatro ases y cuatro reyes) sobre 52 cartas disponibles en el mazo.

23.- 1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

24.-se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2

9 comentarios:

  1. k es te tema se me iso mas facial grasias a esta explicacion

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  2. k es te tema se me iso mas facial grasias a esta explicacion

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  3. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  4. Hola, excelente explicación por esto, me sirvió mucho... Gracias!!!

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  5. a mi me gusta comer taco con salchicha ,sabes?

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  6. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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