TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

• Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
•  Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos. 
• Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.  

Conceptos básicos de la teoria de conjuntos 

Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:

• Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
  Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.  Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
  
• Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
  Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto. 
• Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
  Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
  Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
  Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
   

Colecciones: Clases y Conjuntos.

Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección, cuyos objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la colección.
Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.

Proposición. La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto.

Prueba.
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:

1. Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.
2. Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R.

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.