tag:blogger.com,1999:blog-77003079624066858122024-03-08T12:17:51.283-08:00Aprendiendo EstadisticaAnonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.comBlogger13125tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-26558295961451175482013-05-01T09:17:00.002-07:002013-05-01T09:23:20.081-07:00ESPERANZA MATEMATICA<h1 class="r">
Esperanza matemática</h1>
<div class="actividades_g">
La <b>esperanza matemática </b>o <b>valor esperado</b> de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="media" height="49" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/100.gif" width="381" /></div>
<div class="actividades_g">
Los nombre de <b>esperanza matemática</b> y <b>valor esperado</b>
tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia
promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de
apuestas.</div>
<div class="actividades_v">
Si la <b>esperanza matemática</b> es <b>cero</b>, E(x) = 0, el <b>juego</b> es <b>equitativo</b>, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.</div>
<br />
<h4 class="te">
Ejemplos</h4>
<div class="actividades_g">
<span style="clear: left;">1.- Si una
persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000
€ ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003.
¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?</span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = <span class="sol"> 11 € </span></div>
<br />
<div class="actividades_v">
2.- Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 €
si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece
cara. Determinar la <b>esperanza matemática</b> del juego y si éste es favorable.</div>
<div class="actividades_g_ir">
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} </div>
<div class="actividades_2_r_ir">
p(+1) = 2/4 </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
p(+2) = 1/4 </div>
<div class="actividades_2_r_ir">
p(−5) = 1/4 </div>
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = <span class="sol"><span class="actividades_2_r_ir">−</span>1/4. Es desfavorable</span><br />
<br />
<span class="sol">3.- </span><span class="sol">En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está
distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de
4º. <br />
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.<br />
<br />
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28: <br />
z1= (22 – 26) / 4 = -1<br />
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5<br />
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es: <br />
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328<br />
Y el número esperado (esperanza) de días es: <br />
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días</span><br />
<br />
<span class="sol">4.-</span><span class="sol"><!--[if !mso]>
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<b>Ejemplo. </b>Si X es el número de puntos obtenidos al
lanzar un dado de seis caras, encontremos el valor esperado de la variable
aleatoria Y = X<sup>2</sup> .</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
La función de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si x<span style="font-family: Symbol;">Î</span>{1,2,3,4,5,6}. La función de probabilidad</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
de Y = X<sup>2</sup> es entonces f(y) = 1/6 si y<span style="font-family: Symbol;">Î</span>{1,4,9,16,25,36}, así E(Y) = 1/<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span>*1 + 1/<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span>*4 + 1/<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span>*9 + 1/<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span>*16 + 1/<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span>*25 + 1/<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span>*36 = <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">1<sup>2</sup></span>*P(X=1)
+ 2<sup>2</sup>*P(X= 2) + 3<sup>2</sup>*P(X= 3) + 4<sup>2</sup>*P(X= 4) + 5<sup>2</sup>*P(X=
5) + 6<sup>2</sup>*P(X= 6) = <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">å</span> X<sup>2</sup>*P(X=x)<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<b>Ejemplo. </b>Supongamos ahora que X es una v.a. que
tiene función de probabilidad f(x) = 1/6 si x<span style="font-family: Symbol;">Î</span>{-2,-1,0,1,2,3}y
Y = X<sup><span style="color: black;">2</span></sup><span style="color: black;"> .
La función de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si y</span><span style="color: black; font-family: Symbol;">Î</span><span style="color: black;">{1, 4}
y f(y) = 1/6 si y</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">Î</span><span style="color: black;">{0, 9}. Entonces E(Y) =
2/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*1 + 2/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*4 + 1/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*0 + 1/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*9. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera:
E(Y) = 2/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*1 + 2/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6*</span><span style="color: black;">4 + 1/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*0 + 1/</span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">6</span><span style="color: black;">*9 = </span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">1</span><span style="color: black;">*P(Y=1) + </span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">4</span><span style="color: black;">*P(Y=4) + </span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">0</span><span style="color: black;">*P(Y=0)
+ </span><span style="color: black; font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">9</span><span style="color: black;">*P(Y=1) = 1<sup>2</sup>*P(X=1 ó
X=-1) + 2<sup>2</sup>*P(X=2 ó X=-2) + 0<sup>2</sup>*P(X=0) + 3<sup>2</sup>*P(X=3)
= </span><span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Symbol;">å</span>
X<sup>2</sup>*P(X=x)<span style="color: black;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="color: black;">A través de estos ejemplos vemos
que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y, sólo tenemos que
usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="color: black;">función Y = g(X) = X<sup>2</sup> . Esto es cierto aún en el
caso en que la función no es uno-uno.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: blue;">LA VARIANZA</span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: blue;"></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
La <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">varianza</span> la denotamos mediante V(X) o
VAR(X) o <span style="font-family: Symbol;">s</span><sup>2</sup>, y se calcula
como, </div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";"><span style="mso-text-raise: -26.0pt; position: relative; top: 26.0pt;"><img height="77" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.gif" width="411" /></span></span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Obsérvese que del mismo modo en
que se demuestra la relación se comprueba que </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">V(X)=E(X<sup>2</sup>)-(E(X))<sup>2</sup></span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; mso-ansi-language: PT-BR;">Similarmente,
V(a+bX)=b<sup>2.</sup>V(X)=b<sup>2</sup></span><span lang="PT-BR" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-font-family: "Times New Roman";">s</span><sup><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; mso-ansi-language: PT-BR;">2</span></sup></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Ejemplo</b>. Consideramos una variable
aleatoria discreta con función de probabilidad,</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="mso-text-raise: -23.0pt; position: relative; top: 23.0pt;"><img height="69" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.gif" width="132" /></span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Obtener el valor de la constante <i>c</i>
para que sea una función de probabilidad, los valores de las funciones de
probabilidad y distribución para todos los valores de x, y P(x=3), y P(x≤3). </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Solución: Para ello consideramos,
</span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";"><span style="mso-text-raise: -14.0pt; position: relative; top: 14.0pt;"><img height="45" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.gif" width="223" /></span>, </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">ya que tenemos la suma de una
progresión geométrica de razón menor que la unidad: </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
Calculemos
sucesivos valores de <span style="mso-bidi-font-style: italic;">f</span>(<span style="mso-bidi-font-style: italic;">x</span>) y <span style="mso-bidi-font-style: italic;">F</span>(<span style="mso-bidi-font-style: italic;">x</span>), </div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; margin-left: 14.4pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480; width: 368px;">
<tbody>
<tr style="height: 21.0pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 51.85pt;" valign="top" width="69"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">x</b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 47.25pt;" valign="top" width="63"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">2</b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 42.8pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">3</b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 43.7pt;" valign="top" width="58"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">4</b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 44.95pt;" valign="top" width="60"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">5</span></b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 45.7pt;" valign="top" width="61"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">…</span></b></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 21.0pt; mso-yfti-irow: 1;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 51.85pt;" valign="top" width="69"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">f(x)</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 47.25pt;" valign="top" width="63"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">3/4</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 42.8pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">3/16</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 43.7pt;" valign="top" width="58"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">3/64</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 44.95pt;" valign="top" width="60"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">3/256</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 45.7pt;" valign="top" width="61"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">…</span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 21.0pt; mso-yfti-irow: 2; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 51.85pt;" valign="top" width="69"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">F(x)</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 47.25pt;" valign="top" width="63"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">0.75</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 42.8pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">0.94</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 43.7pt;" valign="top" width="58"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">0.987</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 44.95pt;" valign="top" width="60"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">0.999</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 21.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 45.7pt;" valign="top" width="61"><div align="center" class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: center;">
<span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">….</span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Y como se observa que: si x
crece, f(x) decrece y F(x) crece hasta llegar a su máximo valor 1</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
P(X=3)=f(3)=0.047<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>P(X≤3)=0.987</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Ejemplo</b> para la variable aleatoria
continua, función de densidad </div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="mso-text-raise: -16.0pt; position: relative; top: 16.0pt;"><img height="51" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.gif" width="137" /></span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Hallar: El valor de la constante
c para que sea una función de densidad, la función de distribución, el valor
medio, y la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7 </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Solución. Consideremos, </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";"><span style="mso-text-raise: -16.0pt; position: relative; top: 16.0pt;"><img height="53" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.gif" width="137" /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
La cual debe ser
de valor 1, entonces c/4=1, esto es, c=4</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="mso-text-raise: -16.0pt; position: relative; top: 16.0pt;"><img height="53" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.gif" width="279" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
luego, la
función de distinción acumulada es F(x)=x<sup>4 </sup>para 0<x≤1, 0 en
valores x≤0 y 1 para x≥1</div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">El valor medio es </span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";"><span style="mso-text-raise: -16.0pt; position: relative; top: 16.0pt;"><img height="53" src="file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image014.gif" width="317" /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
P(0.2≤x≤0.7)=F(0.7)-F(0.2)=0.7<sup>2</sup>-0.2<sup>2</sup>=0.24</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Ejemplo</span></b><span style="font-family: "Times New Roman","serif";">, Calcule la varianza de la
variable aleatoria x, que representa el número de puntos obtenidos con un dado.</span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: "Times New Roman";">m</span><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; mso-ansi-language: PT-BR;">=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6</span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: "Times New Roman";">m</span><sup><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; mso-ansi-language: PT-BR;">`</span></sup><sub><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; mso-ansi-language: PT-BR;">2</span></sub><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; mso-ansi-language: PT-BR;">=E(X<sup>2</sup>)=1<sup>2</sup>*1/6+2<sup>2</sup>*1/6+3<sup>2</sup>*1/6+4<sup>2</sup>*1/6+5<sup>2</sup>*1/6+6<sup>2</sup>*1/6</span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Sabemos que </span><span lang="PT-BR" style="font-family: Symbol; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">s</span><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">2=</span><span lang="PT-BR" style="font-family: Symbol; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">m</span><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">`<sub>2</sub>-</span><span lang="PT-BR" style="font-family: Symbol; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">m</span><sup><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">2</span></sup><span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">=((91/6)-(7/2)<sup>2</sup>=35/12</span><br />
<br />
<span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">10.-n pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
</span><br />
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="margin-left: 20%; width: 20%px;">
<tbody>
<tr>
<td>Meses</td>
<td>Niños</td>
</tr>
<tr>
<td>9</td>
<td>1</td>
</tr>
<tr>
<td>10</td>
<td>4</td>
</tr>
<tr>
<td>11</td>
<td>9</td>
</tr>
<tr>
<td>12</td>
<td>16</td>
</tr>
<tr>
<td>13</td>
<td>11</td>
</tr>
<tr>
<td>14</td>
<td>8</td>
</tr>
<tr>
<td>15</td>
<td>1</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="actividades_2_g">
11.-Calcular la <strong>varianza</strong>.</div>
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="margin-left: 20%; width: 45%px;">
<tbody>
<tr>
<td>x<sub>i</sub></td>
<td>f<sub>i</sub></td>
<td>N<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i</sub> · f<sub>i</sub></td>
<td>x²<sub>i</sub> · f<sub>i</sub></td>
</tr>
<tr>
<td>9</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>9</td>
<td>81</td>
</tr>
<tr>
<td>10</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>40</td>
<td>400</td>
</tr>
<tr>
<td>11</td>
<td>9</td>
<td>14</td>
<td>99</td>
<td>1089</td>
</tr>
<tr>
<td>12</td>
<td>16</td>
<td>30</td>
<td>192</td>
<td>2304</td>
</tr>
<tr>
<td>13</td>
<td>11</td>
<td>41</td>
<td>143</td>
<td>1859</td>
</tr>
<tr>
<td>14</td>
<td>8</td>
<td>49</td>
<td>112</td>
<td>1568</td>
</tr>
<tr>
<td>15</td>
<td>1</td>
<td>50</td>
<td>15</td>
<td>225</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td style="color: #990000;">50</td>
<td> </td>
<td style="color: #990000;">610</td>
<td style="color: #990000;">7526</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<h4 class="te">
12.-Media aritmética</h4>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="media" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/122.gif" width="124" /></div>
<h4 class="te">
13.-Varianza</h4>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="varianza" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/123.gif" width="201" /></div>
<br />
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">3.</span>El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la <strong>tabla</strong>:</div>
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="width: 70%px;">
<tbody>
<tr>
<td>Sumas</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td>12</td>
</tr>
<tr>
<td>Veces</td>
<td>3</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>11</td>
<td>20</td>
<td>19</td>
<td>16</td>
<td>13</td>
<td>11</td>
<td>6</td>
<td>4</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="actividades_v">
<span class="numero_r">14.- </span>Calcular <strong>desviación típica</strong>.</div>
<br />
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="margin-left: 20%; width: 50%px;">
<tbody>
<tr>
<td>x<sub>i</sub> </td>
<td>f<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i</sub> <strong> · </strong> f<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i<sup>2</sup> </sub> <strong> · </strong> f<sub>i</sub></td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>6</td>
<td>12</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>8</td>
<td>24</td>
<td>72</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>9</td>
<td>36</td>
<td>144</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>11</td>
<td>55</td>
<td>275</td>
</tr>
<tr>
<td>6</td>
<td>20</td>
<td>120</td>
<td>720</td>
</tr>
<tr>
<td>7</td>
<td>19</td>
<td>133</td>
<td>931</td>
</tr>
<tr>
<td>8</td>
<td>16</td>
<td>128</td>
<td>1024</td>
</tr>
<tr>
<td>9</td>
<td>13</td>
<td>117</td>
<td>1053</td>
</tr>
<tr>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td>110</td>
<td>1100</td>
</tr>
<tr>
<td>11</td>
<td>6</td>
<td>66</td>
<td>726</td>
</tr>
<tr>
<td>12</td>
<td>4</td>
<td>48</td>
<td>576</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td style="color: #990000;">120</td>
<td style="color: #990000;">843</td>
<td style="color: #990000;">6633</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="media y varianza" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/223.gif" width="502" /></div>
<br />
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">15.-</span>Calcular la <strong>varianza</strong> de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:</div>
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="width: 70%px;">
<tbody>
<tr>
<td> </td>
<td>[10, 15)</td>
<td>[15, 20)</td>
<td>[20, 25)</td>
<td>[25, 30)</td>
<td>[30, 35)</td>
</tr>
<tr>
<td>f<sub>i</sub> </td>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>7</td>
<td>4</td>
<td>2</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="margin-left: 15%; width: 50%px;">
<tbody>
<tr>
<td> </td>
<td>x<sub>i </sub></td>
<td>f<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i</sub> <strong> · </strong> f<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i<sup>2</sup> </sub> <strong> · </strong> f<sub>i </sub></td>
</tr>
<tr>
<td>[10, 15)</td>
<td>12.5</td>
<td>3</td>
<td>37.5</td>
<td>468.75</td>
</tr>
<tr>
<td>[15, 20)</td>
<td>17.5</td>
<td>5</td>
<td>87.5</td>
<td>1537.3</td>
</tr>
<tr>
<td>[20, 25)</td>
<td>22.5</td>
<td>7</td>
<td>157.5</td>
<td>3543.8</td>
</tr>
<tr>
<td>[25, 30)</td>
<td>27.5</td>
<td>4</td>
<td>110</td>
<td>3025</td>
</tr>
<tr>
<td>[30, 35)</td>
<td>32.5</td>
<td>2</td>
<td>65</td>
<td>2112.5</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td style="color: #990000;">21</td>
<td style="color: #990000;">457.5</td>
<td style="color: #990000;">10681.25</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<h4 class="te">
16.-Media</h4>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="media" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/177.gif" width="161" /></div>
<h4 class="te">
17.-Varianza</h4>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="varianza" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/179.gif" width="268" /></div>
<br />
<div class="actividades_r">
<strong><span class="numero_v">18.-</span>Calcular la varianza</strong> de la distribución de la tabla:</div>
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="width: 50%px;">
<tbody>
<tr>
<td> </td>
<th>x<sub>i</sub></th>
<th>f<sub>i</sub></th>
<th>x<sub>i</sub> · f<sub>i</sub></th>
<th>x<sub>i</sub><sup>2</sup> · f<sub>i</sub></th>
</tr>
<tr>
<th>[10, 20)</th>
<td> 15</td>
<td>1</td>
<td>15</td>
<td>225</td>
</tr>
<tr>
<th>[20, 30)</th>
<td>25</td>
<td>8</td>
<td>200</td>
<td>5000</td>
</tr>
<tr>
<th>[30,40)</th>
<td>35</td>
<td>10</td>
<td>350</td>
<td>12 250</td>
</tr>
<tr>
<th>[40, 50)</th>
<td>45</td>
<td>9</td>
<td>405</td>
<td>18 225</td>
</tr>
<tr>
<th>[50, 60</th>
<td>55</td>
<td>8</td>
<td>440</td>
<td>24 200</td>
</tr>
<tr>
<th>[60,70)</th>
<td>65</td>
<td>4</td>
<td>260</td>
<td>16 900</td>
</tr>
<tr>
<th>[70, 80)</th>
<td>75</td>
<td>2</td>
<td>150</td>
<td>11 250</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td style="color: #990000;">42</td>
<td style="color: #990000;">1 820</td>
<td style="color: #990000;">88 050</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="actividades_2_g_ir">
<img alt="media" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/61.gif" width="144" /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="varianza" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/62.gif" width="244" /></div>
<br />
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">19.-</span>Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:</div>
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="font-size: 0.8em; margin-left: 3%; width: 90%px;">
<tbody>
<tr>
<td>Altura</td>
<td>[170, 175)</td>
<td>[175, 180)</td>
<td>[180, 185)</td>
<td>[185, 190)</td>
<td>[190, 195)</td>
<td>[195, 2.00)</td>
</tr>
<tr>
<td>Nº de jugadores</td>
<td>1</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>8</td>
<td>5</td>
<td>2</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="actividades_g">
Calcula la varianza.</div>
<br />
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="margin-left: 10%; width: 80%px;">
<tbody>
<tr>
<td> </td>
<td>x<sub>i </sub></td>
<td>f<sub>i </sub></td>
<td>F<sub>i </sub></td>
<td>x<sub>i</sub> <strong> · </strong> f<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i<sup>2</sup> </sub> <strong> · </strong> f<sub>i </sub></td>
</tr>
<tr>
<td>[1.70, 1.75)</td>
<td>1.725</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>1.725</td>
<td>2.976</td>
</tr>
<tr>
<td>[1.75, 1.80)</td>
<td>1.775</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5.325</td>
<td>9.453</td>
</tr>
<tr>
<td>[1.80, 1.85)</td>
<td>1.825</td>
<td>4</td>
<td>8</td>
<td>7.3</td>
<td>13.324</td>
</tr>
<tr>
<td>[1.85, 1.90)</td>
<td>1.875</td>
<td>8</td>
<td>16</td>
<td>15</td>
<td>28.128</td>
</tr>
<tr>
<td>[1.90, 1.95)</td>
<td>1.925</td>
<td>5</td>
<td>21</td>
<td>9.625</td>
<td>18.53</td>
</tr>
<tr>
<td>[1.95, 2.00)</td>
<td>1.975</td>
<td>2</td>
<td>23</td>
<td>3.95</td>
<td>7.802</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td style="color: #990000;">23</td>
<td style="color: #990000;"> </td>
<td style="color: #990000;">42.925</td>
<td style="color: #990000;">80.213</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<h4 class="te">
20.-Media</h4>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="media" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/136.gif" width="160" /></div>
<h4 class="te">
Varianza</h4>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="desviación" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/224.gif" width="249" /></div>
<br />
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">7.</span>Dada la distribución estadística:</div>
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="width: 70%px;">
<tbody>
<tr>
<td> </td>
<td>[0, 5)</td>
<td>[5, 10)</td>
<td>[10, 15)</td>
<td>[15, 20)</td>
<td>[20, 25)</td>
<td>[25, ∞)</td>
</tr>
<tr>
<td>f<sub>i</sub> </td>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>2</td>
<td>6</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="actividades_g">
Calcular la <strong>varianza</strong>.</div>
<br />
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="width: 60%px;">
<tbody>
<tr>
<td> </td>
<td>x<sub>i </sub></td>
<td>f<sub>i</sub> </td>
<td>F<sub>i</sub> </td>
</tr>
<tr>
<td>[0, 5)</td>
<td>2.5</td>
<td>3</td>
<td>3</td>
</tr>
<tr>
<td>[5, 10)</td>
<td>7.5</td>
<td>5</td>
<td>8</td>
</tr>
<tr>
<td>[10, 15)</td>
<td>12.5</td>
<td>7</td>
<td>15</td>
</tr>
<tr>
<td>[15, 20)</td>
<td>17.5</td>
<td>8</td>
<td>23</td>
</tr>
<tr>
<td>[20, 25)</td>
<td>22.5</td>
<td>2</td>
<td>25</td>
</tr>
<tr>
<td>[25, ∞)</td>
<td style="border: #900 2px solid;"> </td>
<td>6</td>
<td>31</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td>31</td>
<td> </td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<h4 class="te">
Media</h4>
<div class="actividades_2_v">
<strong>No</strong> se puede calcular la <strong>media</strong>, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.</div>
<h4 class="te">
Varianza</h4>
<div class="actividades_2_v">
Si <strong>no</strong> hay <strong>media</strong> <strong>no</strong> es posible hallar la <strong>varianza</strong>.</div>
<br />
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">8.</span>Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:</div>
<div class="actividades_v">
<span class="numero_r">1. </span> Calcular su <strong>media</strong> y su <strong>varianza</strong>.</div>
<div class="actividades_g">
<span class="numero_r">2. </span> Si los todos los datos anteriores los <strong>multiplicamos</strong> por <strong>3</strong>, cúal será la nueva <strong>media</strong> y <strong>varianza</strong>.</div>
<br />
<table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" class="t_izq" style="margin-left: 20%; width: 20%px;">
<tbody>
<tr>
<td>x<sub>i</sub> </td>
<td>x<sub>i</sub><sup>2</sup> </td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>4</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>9</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>16</td>
</tr>
<tr>
<td>6</td>
<td>36</td>
</tr>
<tr>
<td>8</td>
<td>64</td>
</tr>
<tr>
<td>10</td>
<td>100</td>
</tr>
<tr>
<td style="color: #990000;">33</td>
<td style="color: #990000;">229</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<h4 class="te">
1</h4>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="media" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/132.gif" width="472" /></div>
<h4 class="te">
2</h4>
<div class="actividades_2_g_iv">
<img alt="varianza" height="26" src="http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/133.gif" width="462" /></div>
<span lang="PT-BR" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: PT-BR; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> </span> Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-13582513650054048302013-05-01T09:07:00.001-07:002013-05-01T09:10:41.933-07:00DISTRIBUCION BINOMIAL<b><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "Times New Roman";"> </span></b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span lang="ES-TRAD" style="color: #ff6633;">1.
DISTRIBUCIÓN<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>BINOMIAL</span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">Las características de esta
distribución son:</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l2 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt left 53.5pt; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">a)<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="ES-TRAD">En
los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos
tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc.,
denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o
“fracaso” (lo contrario del éxito).</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l2 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt left 53.5pt; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">b)<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="ES-TRAD">Las
probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es
decir no cambian.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l2 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt left 53.5pt; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">c)<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="ES-TRAD">Cada
uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l2 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt left 53.5pt; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">d)<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="ES-TRAD">El
número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><br /></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos
permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">Ejemplo:</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">1.-Se lanza al aire una moneda
normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><br /></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">Solución:</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">Antes de empezar a resolver
este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que
tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya
que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de
resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de
ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los
demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n =
3.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><br /></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: small;"><span lang="ES-TRAD">Para dar solución a este
problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde
representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y
posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.</span></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">A =
águila,<span> </span>S = sello<span> </span></span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 17px; position: absolute; width: 75px; z-index: 6;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image001.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 4px; position: absolute; width: 75px; z-index: 7;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image002.gif" width="75" /></span><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 155px; margin-top: 16px; position: absolute; width: 87px; z-index: 2;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image003.gif" width="87" /></span><span> </span>1/2<span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span> </span>1/2<span> </span>S</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 39px; left: 0px; margin-left: 155px; margin-top: 3px; position: absolute; width: 75px; z-index: 3;"><img height="39" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image004.gif" width="75" /></span><span style="height: 75px; left: 0px; margin-left: 59px; margin-top: 15px; position: absolute; width: 87px; z-index: 0;"><img height="75" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image005.gif" width="87" /></span><span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 9px; position: absolute; width: 75px; z-index: 8;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image006.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 14px; position: absolute; width: 75px; z-index: 9;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image007.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>1/2<span> </span>S</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 87px; left: 0px; margin-left: 59px; margin-top: 32px; position: absolute; width: 87px; z-index: 1;"><img height="87" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image008.gif" width="87" /></span><span> </span>S</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 39px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 7px; position: absolute; width: 75px; z-index: 11;"><img height="39" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image009.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 6px; position: absolute; width: 75px; z-index: 10;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image010.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 27px; left: 0px; margin-left: 155px; margin-top: 0px; position: absolute; width: 75px; z-index: 4;"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image011.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>1/2<span> </span>S</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 39px; left: 0px; margin-left: 155px; margin-top: 5px; position: absolute; width: 75px; z-index: 5;"><img height="39" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image012.gif" width="75" /></span><span> </span>S</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 15px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 11px; position: absolute; width: 75px; z-index: 12;"><img height="15" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image013.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>A</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="height: 39px; left: 0px; margin-left: 251px; margin-top: 5px; position: absolute; width: 75px; z-index: 13;"><img height="39" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image014.gif" width="75" /></span><span> </span>1/2<span> </span>S</span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span> </span></span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span> </span>1/2<span> </span>S<span> </span></span></span></b></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></span></b><br />
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-tab-count: 5;"> </span></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">d</span></span><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">=</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">{</span></span><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">AAA, AAS, ASA, ASS,
SAA, SAS, SSA, SSS</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">}</span></span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Para obtener la fórmula,
definiremos lo siguiente:</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">n = número de lanzamientos
de moneda</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = número de “éxitos”
requeridos = número de águilas = 2</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p = probabilidad de “éxito”=
p(aparezca águila) =1/2</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">q = probabilidad de
“fracaso”= p(aparezca sello) =1/2</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Entonces podemos partir de
la siguiente expresión para desarrollar la fórmula;</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">P(aparezcan 2 águilas)=(No.
De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cada rama)</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Entonces el número de ramas
en donde aparecen dos águilas se puede obtener;</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Enumerando las ramas de
interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ TIPO DE ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS
DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales,
entonces, el número de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente,</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="45" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image016.gif" width="153" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">donde n = x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>+...+x<sub>k</sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">sustituyendo en esta
fórmula, tenemos lo siguiente;</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="44" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image018.gif" width="131" /></sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">esta fórmula puede ser
sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si
hay más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula
original, como se observará en el caso de la distribución multinomial, pero
¿porqué vamos a cambiar de fórmula?, simplemente porque en todos los libros de
texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones en lugar de
la de permutaciones, que es la siguiente,</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="44" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image020.gif" width="116" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">y sustituyendo valores, nos
damos cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de interés, que son donde
aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><sub><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><img height="44" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image022.gif" width="271" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">¿Y la probabilidad asociada
a cada rama?</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Probabilidad asociada a cada
rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)= p*p*q = p<sup>2</sup>q=</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>=<sub><img height="24" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image024.gif" width="48" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Luego la fórmula de la
distribución Binomial sería:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image026.gif" width="161" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">donde:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p(<i>x, n, p</i>) =
probabilidad de obtener en <i>n</i> ensayos <i>x</i> éxitos, cuando la probabilidad
de éxito es <i>p</i></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoBodyText" style="tab-stops: 53.5pt;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Dando
solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente:</span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">n = 3, x = 2, p = ½</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><sub><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><img height="41" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image028.gif" width="449" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Para calcular la media y la
desviación estándar de un experimento que tenga una<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Media o valor esperado.</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="21" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image030.gif" width="51" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Donde:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">n = número de ensayos o
repeticiones del experimento</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">P = probabilidad de éxito o
la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se
refiere la media</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Q =<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>complemento de P</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Desviación estándar.</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image032.gif" width="75" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Ejemplos:</span><span lang="ES-TRAD"> </span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">2.-Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se
atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan
5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes
se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se
atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>se atribuyan a errores humanos.</span></span></span></b>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Solución:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">a) n = 5</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = variable que nos define
el número de accidentes debidos a errores humanos</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = 0, 1, 2,...,5 accidentes
debidos a errores de tipo humano</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p = p(éxito) = p(un
accidente se deba a errores humanos) = 0.75</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">q = p(fracaso) = p(un
accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><sub><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "Times New Roman"; mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image034.gif" width="554" /></span></sub><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;">b)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><span style="mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image036.gif" width="472" /></span></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image038.gif" width="360" /></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">c) En este caso cambiaremos
el valor de p;</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">n =5</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = variable que nos define
el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = 0, 1, 2,...,5 accidentes
debidos a errores humanos</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p = p(probabilidad de que un
accidente no se deba a errores humanos) = 0.25</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">q = p(probabilidad de que un
accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><span style="mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image040.gif" width="551" /></span></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">3.-Si la probabilidad de que el vapor se condense en un
tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se
prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la
probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más
de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5
tubos.</span></span></span></b>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Solución:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">a) n =12</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = variable que nos define
el número de tubos en que el vapor se condensa</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos
en el que el vapor se condensa</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p =p(se condense el vapor en
un tubo de Al a 10 atm)= 0.40</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">q = p(no se condense el
vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><sub><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "Times New Roman"; mso-text-raise: -5.0pt;"><img height="24" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image042.gif" width="522" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>= 0.21284</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) =
p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1-</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">[</span></span><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;">p(x=0,1,2)</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">]</span></span><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;">=</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><span style="mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="32" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image044.gif" width="631" /></span></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt 216.0pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><span style="mso-text-raise: -5.0pt;"><img height="22" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image046.gif" width="426" /></span></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt 216.0pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt 216.0pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt 216.0pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>= 1-</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">[</span></span><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">0.002176+0.0174096+0.06385632</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">]</span></span><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">= 1- 0.08344192= 0.91656</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt 216.0pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt 216.0pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">c)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><sub><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US; mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image048.gif" width="529" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>= 0.22703</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"> </span><span lang="ES-TRAD"> </span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">4.-La probabilidad de que el nivel de ruido de un
amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se
prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de
que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB,
b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que
entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el
número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de
2dB y su desviación estándar.</span></span></span></b>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Solución:</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">a)n =10</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x =variable que nos define
el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores
en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p = P(un amplificador exceda
su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">q = p(un amplificador no
exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><sub><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "Times New Roman"; mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="25" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image050.gif" width="561" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;">
</span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>= 0.00849</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;">b)p(x=2,3,...,10,
n=10, p=0.15)=<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1- p(x = 0,1) =</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: EN-US;"><sub><span style="mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="26" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image052.gif" width="429" /></span></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>= 1 – </span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">[</span></span><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">(0.19687+(10)(0.15)(0.231617)</span><span lang="EN-US" style="font-family: Symbol; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">]</span></span><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">=1-0.544296 = 0.455705</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-family: "Times New Roman"; mso-ansi-language: ES;">c) n=10</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x= variable que nos define
el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2
dB</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">x= 0, 1, 2,...,10
amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">p = p(un amplificador no
exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">q = p(un amplificador exceda
su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15 </span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><span style="mso-text-raise: -6.0pt;"><img height="26" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image054.gif" width="657" /></span></sub></span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>=(210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)=</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>=0.001249 +
0.00849 +<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>0.00400997 = 0.01374897</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">d)n=10, p=0.15, q=1-p=0.85</span></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><sub><span lang="ES-TRAD"><img height="21" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image056.gif" width="291" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Interpretación:</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Se espera que 2 de los 10
amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de 2 Db</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><sub><span lang="ES-TRAD"><img height="27" src="http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01UNIDAD%20IV_archivos/image058.gif" width="385" /></span></sub></span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-top: 12.0pt; tab-stops: 53.5pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Interpretación:</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span lang="ES-TRAD">Este
experimento puede variar en 2 </span><span lang="ES-TRAD" style="font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">±</span></span><span lang="ES-TRAD"> 1 amplificador, esto es, de
1 a 3 amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="actividades_v">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">5.-La última novela de un autor ha tenido un gran
éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un
grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:</span></span></div>
<div class="actividades_r">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="numero_v">1. </span>¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?</span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">n = 4</span></span></div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="actividades_2_g_ir">p = 0.8</span></span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="actividades_2_r_ir">q = 0.2</span></span></span></div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">B(4, 0.8) </span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="binomial" height="50" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/25.gif" width="450" /></span></span></div>
<div class="actividades_r" style="margin-top: 30px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="numero_v">2.</span>¿Y al menos 2?</span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="binomial" height="26" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/25_1.gif" width="365" /></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="binomial" height="50" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/25_2.gif" width="426" /></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<div class="r">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Parámetros de la distribución binomial</span></span></div>
<div class="te">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Media </b></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="media" height="18" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/26.gif" width="69" /></span></span></div>
<div class="te">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Varianza</b></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="varianza" height="26" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/27.gif" width="101" /></span></span></div>
<div class="te">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Desviación típica </b></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="desviación típica" height="28" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/28.gif" width="104" /></span></span></div>
<div class="t" style="margin-top: 20px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Ejemplo</span></span></div>
<div class="actividades_r">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">6.-La probabilidad de que un artículo
producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento
de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de
artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.</span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="21" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/29.gif" width="196" /></span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="26" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/29_1.gif" width="256" /></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="25" src="http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/29_2.gif" width="120" /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span lang="ES-TRAD"><br />
</span></b></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Ejercicio 7</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="Problemas resueltos distribución binomial." height="1008" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/binomial-6.gif" width="625" /></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Ejercicio 8 </span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="Problemas resueltos distribución binomial." height="958" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/binomial-7.gif" width="632" /></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Ejercicio 9</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="Problemas resueltos distribución binomial." height="500" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/binomial-8.gif" width="640" /></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Ejercicio 10</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="Problemas distribución binomial." height="469" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/binomial-8_1.gif" width="614" /></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">11.-<span style="font-style: italic;">"Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una de ellas con tres
posibles respuestas, de forma que sólo una de las tres es
correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante
que contesta al azar acierte 6?"</span><br style="font-style: italic;" />
<br />
Definimos X="Número de aciertos en las 10 preguntas". En
este caso, cada pregunta es cada una de las pruebas que se repiten, o sea, n = 10. <br />
De
la manera que está planteado el problema sólo hay
dos posibles resultados, o acierta (<i>éxito, pues me preguntan sobre los aciertos</i>) o no acierta
(<i>fracaso</i>) y la probabilidad de acierto en cada prueba es la misma,
1 / 3.<br />
<br />
Por tanto efectivamente X sigue una distribución binomial ;
X es B(10, 1/3) y el problema me pide P [ X = 6 ]<br />
<br />
Para calcular esa probabilidad, observamos que X = 6 significa 6 aciertos y 4 fallos, o sea (1 / 3 ) <sup>6</sup> · (2 / 3 ) <sup>4</sup>.
Además hay que tener en cuenta cómo repartir los 6
acierto a lo largo de las 10 preguntas;
<i>no importa el orden y no se
pueden repetir las preguntas,</i> por tanto combinación sin
repetición de 10 elementos tomados de 6 en 6.Luego la
probabilidad pedida es:</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="" src="http://www.ieszaframagon.com/matematicas/estadistica/var_aleatoria/ejembin.png" style="height: 54px; width: 347px;" /> </span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">12. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:</span></span><br />
<div class="actividades_r" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="numero_v" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: transparent; background-image: initial; background-origin: initial; color: #006655; font-weight: bold; margin-right: 1em;">13</span>Las cinco personas.</span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">B(5, 2/3) <span style="margin-left: 10%;">p = 2/3</span> <span style="margin-left: 10%;">q = 1/3</span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="53" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/32.gif" width="234" /></span></span></div>
<div class="actividades_r" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="numero_v" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: transparent; background-image: initial; background-origin: initial; color: #006655; font-weight: bold; margin-right: 1em;">14.</span>Al menos tres personas.</span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="26" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/32_1.gif" width="368" /></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="53" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/32_2.gif" width="404" /></span></span></div>
<div class="actividades_r" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="numero_v" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: transparent; background-image: initial; background-origin: initial; color: #006655; font-weight: bold; margin-right: 1em;">15.</span>Exactamente dos personas.</span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="53" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/32_3.gif" width="277" /></span></span></div>
<div class="actividades_g" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">16.-Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinc</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
o está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?</span></span></div>
<div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_v_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">B(10, 1/5)<span style="margin-left: 10%;">p = 1/5</span><span style="margin-left: 10%;">q = 4/5</span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="53" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/34.gif" width="306" /></span></span></div>
<div style="line-height: 24px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
</div>
<div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><br />
</span></span></span></div>
<div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><br />
</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<div class="actividades_r" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">17.-La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces</span></span></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"> ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?</span></span></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"> ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?</span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">B(10, 1/4) <span style="margin-left: 10%;">p = 1/4</span><span style="margin-left: 10%;">q = 3/4</span></span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><img alt="solución" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/35.gif" /></span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><img alt="solución" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/35_1.gif" /></span></span></span></span></div>
<div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><br />
</span></span></span></span></div>
<div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><br />
</span></span></span></span></div>
<div>
<div class="actividades_r" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<div style="line-height: 1.75em;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar</span></span></span></span></div>
<div style="line-height: 1.75em;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"> y se anota </span></span><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"> si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. </span></span></span></div>
<div style="line-height: 1.75em;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><br />
</span></span></span></span></div>
<div style="line-height: 1.75em;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">Calcular la media y la desviación típica.</span></span></span></span></div>
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">B(10, 1/3) <span style="margin-left: 10%;">p = 1/3</span><span style="margin-left: 10%;">q = 2/3</span></span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><img alt="solución" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/33.gif" width="137" /></span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url("http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png"); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><img alt="solución" height="46" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/33_1.gif" width="172" /></span></span></span></span></div>
</div>
<div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><br />
</span></span></span></span></div>
<div>
<div class="actividades_g" style="background-color: white; border-color: initial; border-style: initial; border-width: 0px; color: black; left: 5%; line-height: 1.75em; margin: 20px; padding: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 987px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">18.-lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más</span></span></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"> caras que cruces</span></span></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">.</span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;">B(4, 0.5) <span style="margin-left: 10%;">p = 0.5</span><span style="margin-left: 10%;">q = 0.5</span></span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.co.uk/images/ul_v_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><img alt="solución" height="26" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/30.gif" width="277" /></span></span></span></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.co.uk/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 871px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 21px;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><img alt="solución" height="50" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/3/images/30_1.gif" width="290" /></span></span></span></span></div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> </span></span> <br />
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "Times New Roman";"> </span></b></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-18652343806523716342013-05-01T08:54:00.000-07:002013-05-01T08:54:59.327-07:00PROBABILIDAD CONDICIONAL<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Probabilidad condicional</b> es la probabilidad de que ocurra un evento <i>A</i>, sabiendo que también sucede otro evento <i>B</i>. La probabilidad condicional se escribe <i>P</i>(<i>A</i>|<i>B</i>), y se lee «la probabilidad de <i>A</i> dado <i>B</i>».</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre <i>A</i> y <i>B</i>. <i>A</i> puede preceder en el tiempo a <i>B</i>, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. <i>A</i> puede causar <i>B</i>,
viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o
temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad.
Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se
le dé a los eventos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">El <b>condicionamiento</b> de probabilidades puede lograrse aplicando el <span style="color: black;">teorema de Bayes:</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="actividades_g">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Resulta que: </span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div class="actividades_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="Bayes" height="41" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/2/images/8.gif" width="524" /></span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div class="actividades_g_ir" style="margin-top: 30px;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Las probabilidades <b>p(A<sub>1</sub>)</b> se denominan <b>probabilidades a priori</b>. </span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div class="actividades_r_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Las probabilidades <b>p(A<sub>i</sub>/B)</b> se denominan <b>probabilidades a posteriori</b>.</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div class="actividades_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> Las probabilidades <b>p(B/A<sub>i</sub>)</b> se denominan verosimilitudes.</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<h4 class="te">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Ejemplos</span></h4>
<h4 class="te">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> </span></h4>
<div class="actividades_g">
1.-El 20% de los empleados de una empresa son
ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan
un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que
los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto
directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido
al azar sea ingeniero?</div>
<div class="actividades_2">
<img alt="árbol" height="218" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/2/images/60.gif" width="300" /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="45" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/2/images/61.gif" width="518" /></div>
<br />
<div class="actividades_g">
2.-La probabilidad de que
haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La
probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de
0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente
es 0.02.</div>
<div class="actividades_r">
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?</div>
<div class="actividades_v">
Sean los sucesos:</div>
<div class="actividades_g">
I = Producirse incidente.</div>
<div class="actividades_r">
A = Sonar la alarma.</div>
<div class="actividades_2">
<img alt="árbol" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/2/images/0_54.gif" /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/2/images/0_55.gif" width="316" /> </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br /></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">3.-En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son
niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas
tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona
un infante al azar.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i>SOLUCIÓN:</i></b></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Se definen los sucesos:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>H</i>: seleccionar una niña.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>V</i>: seleccionar un niño.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>M</i>: infante menor de 24 meses.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es
importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la
característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los
sucesos condicionados.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica
en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad
de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de <i>probabilidad total. </i>Su probabilidad será:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> <img alt="" class="aligncenter" height="27" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/imagen-40.jpg?w=554&h=27" title="Imagen 40" width="554" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al
teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad
condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes
ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante
menor de 24 meses será:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="" class="aligncenter" height="47" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/imagen-41.jpg?w=631&h=47" title="Imagen 41" width="631" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">4.-Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus
pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes
mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además,
que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones
faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se
selecciona un paciente al azar, determine:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i>SOLUCIÓN:</i></b></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Se definen los sucesos:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>F</i>: pacientes que se realizan cirugías faciales</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>M</i>: pacientes que se realizan implantes mamarios</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>O</i>: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>H</i>: pacientes de género masculino</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un
problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las
cirugías los condicionantes. Dicho valor será:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="" class="aligncenter" height="25" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/imagen-421.jpg?w=440&h=25" title="Imagen 42" width="440" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><a href="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/correccion-blog.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-296" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/correccion-blog.jpg?w=640" title="Correccion Blog" /></a></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="" class="aligncenter" height="47" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/imagen-44.jpg?w=471&h=47" title="Imagen 44" width="471" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><a href="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/correccion-ii-blog.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-297" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/correccion-ii-blog.jpg?w=640" title="Correccion II Blog" /></a></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">5.-Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar
ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35%
el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen
probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente
busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error.
Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i>SOLUCIÓN:</i></b></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Se definen los sucesos:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>P</i>: seleccionar el primer aparato</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>S</i>: seleccionar el segundo aparato</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>T</i>: seleccionar el tercer aparato</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Suceso <i>E</i>: seleccionar un resultado con error</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad
de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha
ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes.
Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de
que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="" height="47" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/imagen-46.jpg?w=435&h=47" title="Imagen 46" width="435" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="" height="46" src="http://estadisticageneral.files.wordpress.com/2010/11/imagen-47.jpg?w=531&h=46" title="Imagen 47" width="531" /> </span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">6.-Se
seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una
bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores
blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:</span>
<br />
<ol type="a">
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La primera semilla sea roja?</span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue
roja?</span></li>
</ol>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: maroon;"><b><i>Solución:</i></b><i> </i></span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<ol type="a">
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La probabilidad de que la primera semilla sea roja es <img align="middle" height="41" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image155.gif" width="21" />,
puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de
15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: <img align="middle" height="41" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image156.gif" width="76" /></span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se
ve influida por lo que salió primero, es decir esta
probabilidad está sujeta a una condición, la de que la
primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le
llama probabilidad condicional y se denota por <img align="middle" height="26" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image157.gif" width="62" /></span></li>
</ol>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">, y se lee: la probabilidad de B<sub>2</sub> dado R<sub>1</sub>.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Esta probabilidad <img align="middle" height="41" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image158.gif" width="97" />, puesto que todavía hay 5 semillas
blancas en un total de 14 restantes.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Veamos la situación en un diagrama de árbol: </span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img border="1" height="255" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image159.gif" width="307" /></span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span>
<div align="center">
<center>
<table border="1" cellpadding="7" cellspacing="1" style="width: 504px;">
<tbody>
<tr>
<td bgcolor="#C6FFFF" valign="top"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: maroon;"><b><i>Definición
de Probabilidad Condicional:</i></b></span><b><i> </i></b>Para
dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S,
tales que <i>P(A) > 0</i> con <i>P(A) </i><i>¹</i><i> 0,</i> la probabilidad
del evento B dado el evento A, se define por <img align="middle" height="43" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image160.gif" width="132" />.</span></td>
</tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span>
<center>
</center>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div align="center">
<br /></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: green;"><b><i>7.- </i></b></span>Una
persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de
obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: maroon;"><b><i>Solución:</i></b></span> El
espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es </span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><i>S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}</i></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres
lanzamientos es:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><i>A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}</i></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">El evento B de que obtenga 3 águilas es <i>B = {aaa}</i></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Por lo tanto<i>, A</i><i>Ç</i><i>
B ={aaa}</i> y <img height="41" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image161.gif" width="170" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">De donde <img height="46" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image162.gif" width="179" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Nótese que <img height="36" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image163.gif" width="76" />es
la probabilidad de <b>una</b> ocurrencia en las <b>siete</b> que
son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional
de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación
al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* =
A.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: green;"><b><i>Proposición 3.5:</i></b></span><span style="color: maroon;"> </span>Para dos eventos A y B cualesquiera del
espacio muestra S, </span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="27" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image164.gif" width="241" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: maroon;"><b><i>Demostración:</i></b></span><b><i>
</i></b>Para cualquier evento B,</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<table border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="width: 585px;">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="33%"><div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="73" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image165.gif" width="152" /></span></div>
</td>
<td valign="top" width="67%"><div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="82" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image166.gif" width="308" /></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Como los eventos <i>(B</i><i>Ç</i><i>
A) y (B</i><i>Ç</i><i> A</i><sup><i>C</i></sup><i>)</i>
son mutuamente exclusivos y su unión es <i>B</i>, entonces por
el axioma 3, tenemos: <img height="24" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image167.gif" width="204" /> [3.3]</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Despejando <i>P(A</i><i>Ç</i><i>
B)</i> de la definición de probabilidad condicional, tenemos</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><i>P(A</i><i>Ç</i><i> B) = P(A)
P(B/A) y P(A</i><sup><i>C</i></sup><sup><i>Ç</i></sup><sup><i>
</i></sup><i>B) = P(A</i><sup><i>C</i></sup><i>) P (B/A</i><sup><i>C</i></sup><i>)</i></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Sustituyendo en [3.3] se tiene <i>P(B) = P(A) P(B/A) + P(A</i><sup><i>C</i></sup><i>)
P (B/A</i><sup><i>C</i></sup><i>).</i></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica </span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img border="1" height="132" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image168.gif" width="304" /></span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><i>P(A) P(B/A) = P(A</i><i>Ç</i><i>
B)</i> y <i>P(A</i><sup><i>C</i></sup><i>) P(B/A</i><sup><i>C</i></sup><i>)
= P(A</i><sup><i>C</i></sup><sup><i>Ç</i></sup><sup><i>
</i></sup><i>B)</i></span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: green;"><b><i>8.-</i></b></span><i> </i>Consideremos
dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la
caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al
azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad
de que la esfera sea blanca.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: maroon;"><b><i>Solución:</i></b></span><i> </i>Sea
A el evento de seleccionar la caja 1 y A<sup>C</sup> el evento de
seleccionar la caja 2, entonces <i>P(A) = P(A</i><sup><i>C</i></sup><i>)</i>
= 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma
probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una
esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3
esferas blancas en un total de 7 <i>y P(B/A</i><sup><i>C</i></sup><i>)
= 8/12</i> porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total
de 12.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></div>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="41" src="http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/Image169.gif" width="377" /></span></div>
<br />
<br />
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> 9.- Tres máquinas, <i>A, B </i>y <i>C</i>, producen el 45%, 30% y 25%,
respectivamente, del total de las piezas producidas en una
fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas
son del 3%, 4% y 5%.</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br />
<ol type="a">
<li><div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Seleccionamos una pieza al azar; calcula la
probabilidad de que sea defectuosa.
</span></div>
</li>
<li><div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser
defectuosa; calcula la probabilidad de haber
sido producida por la máquina <i>B</i>.
</span></div>
</li>
<li><div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber
producido la citada pieza defectuosa? </span></div>
<h3 align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><i>Solución:</i></b></span></h3>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img align="RIGHT" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/iejer8-1-arbol.gif" /></span></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Sea <i>D</i>= "la pieza es defectuosa" y <i>N</i>= "la pieza no es
defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama
de árbol adjunto.
</span></div>
</li>
<li><div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea
defectuosa, <i>P(D)</i>, por la propiedad de la probabilidad
total, </span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><i>P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) +
P(C) · P(D/C) =</i></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img align="bottom" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/iespacio.gif" />
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038</span>
</li>
<li><div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Debemos calcular <i>P(B/D)</i>. Por el teorema de Bayes, </span></div>
<center>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img align="middle" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/iejer8-1-b.gif" /></span></center>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
</li>
<li><div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Calculamos <i>P(A/D)</i> y <i>P(C/D)</i>, comparándolas con el
valor de <i>P(B/D)</i> ya calculado. Aplicando el teorema de
Bayes, obtenemos:</span></div>
<center>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img align="middle" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/iejer8-1-c.gif" /></span></center>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La máquina con mayor probabilidad de haber
producido la pieza defectuosa es <i>A</i></span> </div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<img alt="Teorema de Bayes" height="265" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/probabilidad-28.gif" width="626" /><br />
<br />
<div class="pimagen">
<img alt="Probabilidad total" height="219" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/probabilidad-41.gif" width="217" /></div>
<br />
<img alt="Probabilidad total" height="382" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/probabilidad-29.gif" width="624" /><br />
<br />
<img alt="Teorema de Bayes" height="492" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/probabilidad-30.gif" width="612" /><br />
<br />
<div class="pimagen">
<img alt="Probabilidad total" height="200" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/probabilidad-42.gif" width="247" /></div>
<br />
<img alt="Teorema de Bayes" height="396" src="http://www.vadenumeros.es/imagenes/sociales/probabilidad-31.gif" width="632" /><br />
<br />
<br />
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">12.- Tenemos tres urnas: <i>A</i> con 3 bolas rojas y 5 negras, <i>B</i>
con 2 bolas rojas y 1 negra y <i>C</i> con 2 bolas rojas y 3 negras.
Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola
ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la
urna A?</span></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<h3 align="JUSTIFY">
<b><i>Solución:</i></b></h3>
<div align="justify">
<img align="RIGHT" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/iejer8-2-arbol.gif" /></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Llamamos <i>R</i>= "sacar bola roja" y <i>N</i>= "sacar bola negra". En
el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de
ocurrencia de los sucesos <i>R</i> o <i>N</i> para cada una de las tres urnas.</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><div align="justify">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
La probabilidad pedida es <i>P(A/R)</i>. Utilizando el teorema de Bayes,
tenemos:</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><center>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img align="middle" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/iejer8-2.gif" /></span></center>
<div align="justify">
<br /></div>
</li>
</ol>
<br />
<h4 class="te">
</h4>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-29789833865112591902013-04-28T09:27:00.000-07:002013-05-01T08:35:42.018-07:00EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES, DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span><br />
<div class="intelliTXT step-content">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<div style="background: white; margin-bottom: 11.25pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><strong>Eventos no excluyentes</strong></span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="background-color: white; text-align: justify;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 12pt;">Sacar un 5 y una carta de espadas.
Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.</span></span></li>
<li class="MsoNormal" style="background-color: white; text-align: justify;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 12pt;">Sacar una carta roja y una carta de
corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno
de los palos rojos.</span></span></li>
<li class="MsoNormal" style="background-color: white; text-align: justify;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 12pt;">Sacar un 9 y una carta negra. Son
eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de
tréboles.</span></span></li>
</ul>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 11.25pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b><span style="font-size: 12pt;">Eventos mutuamente excluyentes</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 11.25pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="intelliTXT">Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos
en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir.
Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las
leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente
excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas.</span></span><br />
<div class="Heading3">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Fórmula</span></div>
<div class="intelliTXT step-content">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La fórmula matemática para
determinar la probabilidad de los eventos mutuamente excluyentes es P(A U
B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la fórmula es "Si A y B son evento
mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o B suceda es
equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del
evento B".</span></div>
<b><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></b><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"></span></div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="background-color: white; text-align: justify;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES-AR;">Sacar una carta de corazones y una carta de
espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones
o son de espadas.</span></li>
<li class="MsoNormal" style="background-color: white; text-align: justify;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES-AR;">Sacar una carta numerada y una carta de
letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o
son cartas con letra.</span></li>
<li class="MsoNormal" style="background-color: white; text-align: justify;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES-AR;">Sacar una carta de tréboles roja. Son
eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son
exclusivamente negras.</span></li>
</ul>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 11.25pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos
sucedan a la vez.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">EVENTOS DEPENDIENTES, INDEPENDIENTES Y
CONDICIONALES</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;"><b>Eventos Independientes<br />
</b><br />
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un
evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o
eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con
reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la
población donde se obtuvo.<br />
<br />
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver
con la ocurrencia de otro.<br />
<br />
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes
si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.<br />
<br />
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si
y sólo si:<br />
<br />
(PnA)=P(A)P(B)<br />
<br />
<br />
<b>Eventos dependientes</b><br />
<br />
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de
uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando
tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional
para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B)
indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya
ocurrió.<br />
<br />
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.<br />
<br />
P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)<br />
<br />
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)<br />
<br />
<b>Probabilidad Condicional</b><br />
<br />
Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió
el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son
dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B
es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:<br />
P(AlB)</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
</div>
<div align="center" class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="text-align: center;">
<b><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Ejercicios</span></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">1.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> si se
tira un dado calcular la probabilidad de:</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">A caen 3 puntos o menos o</span><br />
<span style="background: white;">B caen 5 puntos o mas</span><br />
<span style="background: white;">Como son Mutuamente excluyentes AnB=0</span><br />
<span style="background: white;">P(AoB)=P(a)+P(B)</span><br />
<span style="background: white;">=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)</span><br />
<span style="background: white;">=3/6 + 2/6</span><br />
<span style="background: white;">=5/6</span></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">2.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">se tiene una urna con 50 papeles de colores 15
rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Cual es la probabilidad de:</span><br />
<span style="background: white;">A sale un papel azul o</span><br />
<span style="background: white;">B sale un papel rojo</span><br />
<span style="background: white;">P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)</span><br />
<span style="background: white;">=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)</span><br />
<span style="background: white;">=10/50 + 15/50</span><br />
<span style="background: white;">=25/50</span><br />
<span style="background: white;">=1/2</span></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">3.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13
negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Cual es la probabilidad de que se extraiga una
bola blanca de cada una</span><br />
<span style="background: white;">P(AyB)=P(A)*P(B)</span><br />
<span style="background: white;">=7/20 * 12/20</span><br />
<span style="background: white;">=84/400</span><br />
<span style="background: white;">=81/100</span></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">4.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span class="apple-converted-space"><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">en una baraja de 52 cartas
se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Cual es la probabilidad de A la primera sea de
diamantes, y B la segunda sea de tréboles.</span><br />
<span style="background: white;">P(AyB)=P(A) * P(B)</span><br />
<span style="background: white;">=13/52 * 13/52</span><br />
<span style="background: white;">=169/2704</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">5.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos.
Se toma al azar 5 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de
que sean buenos.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<br />
<span style="background: white;">p= 16/27 * 15/26 * 14/25 * 13/24 * 12/23 =
52416/968760</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Se lanza una moneda cargada, de modo que la
probabilidad de que salga cara es de 2/3 y que salga sello es 1/3.</span><br />
<span style="background: white;">Si sale cara se escoge al azar un número del 1
al 9; si sale sello se escoge al azar un número del 1 al 5.</span><br />
<span style="background: white;">Hallar la probabilidad de que se escoja un
número par.</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P=2/3 * 4/9 + 1/3 * 2/5</span><br />
<span style="background: white;">= 8/27 + 2/15</span><br />
<span style="background: white;">=58/135</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">6.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Supongase que en una caja cerrada se tienen 3
canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica
¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<br />
<span style="background: white;">Canicas rojas: 3</span><br />
<span style="background: white;">Canicas azules: 3</span><br />
<span style="background: white;">Canicas verdes: 4</span><br />
<span style="background: white;">Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica
roja.</span></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">7.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Considere los sucesos A y B. Supóngase que
P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son
mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p, los eventos A y B son
independientes?</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Para que los sucesos A y B sean mutuamente
excluyentes entonces P(A</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) = 0</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">P(A</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋃</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) = P(A) +
P(B) - P(A</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) ..... probabilidad de la unión.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Sustituyendo los valores tenemos:</span><br />
<span style="background: white;">0.7 = 0.4 + P - 0 </span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⇨</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> P =
0.3</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Para que los sucesos A y B sean mutuamente
excluyentes P = 0.3.</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Para que los sucesos Ay B sean independientes
entonces P(A</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) = P(A)P(B)</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">P(A</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) = P(A)P(B)
..... condición de eventos independientes.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Sustituyendo los valores tenemos:</span><br />
<span style="background: white;">P(A</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) = 0.4*P </span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⇨</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> P =
P(A</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) / 0.4</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">La relación anterior se cumple con la única
condición que P(A</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) ≠ 0 (no excluyentes).</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">Para que los sucesos A y B sean independientes P
= P(A</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) / 0.4 con P(A</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: 'Cambria Math', serif; font-size: 12pt;">⋂</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B) ≠ 0</span></div>
<div class="MsoNormal">
</div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: Arial;">8.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">Si
haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad
del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la
probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda
saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado
de su tirada)?</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">Aquí,</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">J: Júpiter se alineará con Marte<br />
A: Su tirada saldrá águilas</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su
tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como independientes, y así la
probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05.</span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin: 0cm 0cm 9pt 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">9.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Una caja contiene 4
canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de
la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la
probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 9pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral
(9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son
independientes.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 9pt;">
<i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">P</span></i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">(azul luego verde) = <i>P</i>(azul) · <i>P</i>(verde)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 9pt;">
<i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin: 0cm 0cm 9pt 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">10.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Una caja contiene 4 canicas
rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja
y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de
que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 9pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio
muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así
los eventos son dependientes.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 9pt;">
<i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">P</span></i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">(azul luego verde) = <i>P</i>(azul) · <i>P</i>(verde)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 9pt;">
<i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 72pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">11.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">- Un estudiante responde al azar a dos
preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento
aleatorio.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Solución.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">El espacio muestral es el conjunto de todos los
sucesos elementales. Los sucesos</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">elementales son cada uno de los resultados
posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como
el experimento consiste en responder al</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">azar a dos preguntas, cada uno de los posibles
patrones de respuesta constituirá un</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">suceso elemental. Un patrón de respuesta sería
contestar verdadero a la primera</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">pregunta y verdadero a la segunda, lo
representamos (V, V). Con esta representación</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">podemos escribir el espacio muestral como:</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo
tipo anterior.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) Escriba el espacio muestral.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">b) Escriba el suceso responder “falso” a una
sola pregunta.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">c) Escriba el suceso responder “verdadero” al
menos a 3 preguntas.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la
intersección y la diferencia del 2º y el 1º.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">e) La colección formada por estos 5 sucesos,
más el suceso seguro y el suceso</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Solución</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) Con la misma convención del problema
anterior, los sucesos elementales serían:</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F,
V, V)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F,
F, F)</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F,
F, F)</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">b) El Suceso responder falso a una sola
pregunta será el subconjunto del espacio</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">muestral formado por todos los sucesos
elementales en que solo hay unarespuesta</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">falo, lo llamaremos A y será:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">A= {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V,
V)}</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">c) El suceso responder verdadero al menos a 3
preguntas, lo llamaremos B y será:</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V)
È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">d) Observando los sucesos elementales que los
componen se deducen inmediatamente</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">los siguientes resultados:</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">A È B = B A U B = A B- A = {(V, V, V, V)}</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">12. Una rata es
colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si
pulsa dos veces las palancas al azar:</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos
veces pulse la roja?</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la
primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Solución</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) Para que las dos veces pulse la roja tiene
que ocurrir que la primera vez pulse la rojay la segunda también pulse la roja,
es decir que se verifique el suceso (R1 Ç R2).Ahora bien , como ambos sucesos
son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de
las probabilidades de ambos sucesos. La</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">probabilidad de estos sucesos se determina
mediante la regla de Laplace de casos</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">favorables (uno), partido por casos posibles
(tres)</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">P(R1 Ç R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 72pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">b) En este apartado, claramente, nos piden la
probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar
azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la
probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la
probabilidad de la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual
que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son
independientes.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 =
5/9</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">13. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge
una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<br />
<span style="background: white;">Solución:<span class="apple-converted-space"> </span></span><br />
<br />
<span style="background: white;">Divide la cantidad de formas de elegir una
canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)</span><br />
<br />
<span style="background: white;">68 ÷ 87 = 0.781609</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Redondea a la precisión deseada (es decir
0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="background: white;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">14. i yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las
cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar
de la canasta?</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<br />
<span style="background: white;">Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de
frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la
probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que
existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Calculando igual, la probabilidad de sacar pera
es:</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que
saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">15. En 15 minutos podemos determinar como máximo si cuatro
donantes son del tipo requerido, ya que en el peor de los casos si los 4
primeros no son del tipo adecuado ya no nos daría tiempo a la transfusión, (ya
que 5 pruebas * 3 minutos = 15 minutos) asi que tenemos que deternimar la
probabilidad que como máximo el cuarto donante sea del tipo buscado, para esto
necesitamos la distribución geometrica,<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X=x) = p*(1-p)^(x-1)</span><br />
<br />
<span style="background: white;">donde</span><br />
<br />
<span style="background: white;">p=0.20 (20%)</span><br />
<br />
<span style="background: white;">y debemos calcular</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X<=4) =</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X=1) = 0.2*(1-0.2)^(1-1) = 0.2</span><br />
<span style="background: white;">P(X=2) = 0.2*(1-0.2)^(2-1) = 0.16</span><br />
<span style="background: white;">P(X=3) = 0.2*(1-0.2)^(3-1) = 0.128</span><br />
<span style="background: white;">P(X=4) = 0.2*(1-0.2)^(4-1) = 0.1024</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Y sumando las probabilidades</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X<=4) = 0.5904</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Que tambien se puede calcular directamente
sabiendo que</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X<=x) = 1-(1-p)^x</span><br />
<br />
<span style="background: white;">P(X<=4) = 1-(1-0.2)^4 = 0.5904 como
anteriormente.</span><br />
<br />
<span style="background: white;">Por lo tanto la probabilidad que sobreviva es de
0.5904 (59.04%)</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">16. </span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Al lanzar un dado tres veces, ¿según las
probabilidades,<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
<span style="background: white;">es conveniente apostar a favor o en contra de
obtener al menos una vez el 2?<span class="apple-converted-space"> </span></span><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">"Al menos una vez el 2" quiere decir
"alguna vez</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">se obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se
obtiene<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">el 2}, su complemento es<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">A<sup>c</sup>={ninguna vez se obtiene el 2}</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">P(A<sup>c</sup>)=P(no sale 2 en 1er lanzam.)•
P(no sale 2 en 2º<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">lanzam.)•P(no sale 2 en 3er lanzam.)=5/6•5/6•5/6<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">=125/216</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">0,58.<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Luego, como P(A)+P(A<sup>c</sup>)=1<span class="apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"><br />
</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: ES-AR; mso-no-proof: yes;">
</span><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">apostar a favor.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 54pt;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">17. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres
bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una
negra?<br />
a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la<br />
primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.<br />
b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar<br />
la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) En este caso los eventos son independientes ya<br />
que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no<br />
afecta al otro.<br />
Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B:<br />
"sacar una bolita negra", entonces, usando<br />
P(A
B)=P(A)•P(B), P(A
B)=2/5•3/5=6/25</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">b) Si no hay reposición, los eventos son dependientes<br />
ya que la bolita no es repuesta a la tómbola, por lo que<br />
ocupamos<br />
P(A
B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">18. Repita el problema 2) anterior, pero ahora la
pregunta es ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que
ahora no importa el orden).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la<br />
primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola<br />
b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar<br />
la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">a) Usando la definición, el número total de casos<br />
posibles es 5•5=25 y el número de casos favorables<br />
es 2•3+3•2=12(una blanca y una negra ó una negra<br />
y una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,<br />
usando las propiedades,<br />
P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después negra)<br />
+ P(sacar negra)•P(sacar después<br />
blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">b) Número de casos posibles: 5•4=20 y el número de<br />
casos favorables =2•3+3•2=12, luego,<br />
P(B)=12/20=3/5=60%.<br />
O bien, usando las propiedades<br />
P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar negra/sabiendo que<br />
ha salido blanca) +P(sacar negra)•P(sacar<br />
blanca/sabiendo que ha salido negra)<br />
=2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">19. Para obtener licencia para conducir, es
necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la
prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la
parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es
0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen
para obtener licencia?</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">
</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)<br />
Sea B: aprobar la parte práctica, (P(B)=0,72)<br />
Debemos calcular la prob. de A y B, P(A
B).<br />
Usando P(A
B) = P(A)+P(B)-P(A
B), despejamos P(A
B):<br />
P(A
B)=P(A)+P(B)-P(A
B) y reemplazando,<br />
P(A
B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt;">20.</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;"> Hay 87 canicas en
una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que
esta sea verde?</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">Solución:</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">Divide la cantidad de formas de elegir una
canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">68 ÷ 87 = 0.781609</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt;">Redondea a la precisión deseada (es decir
0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)</span></div>
<br />
21.-<span style="font-family: Arial; font-size: 100%;"><span lang="ES">Si un <b>
solo dado es lanzado al aire </b>
y el jugador puede ganar si
obtiene el punto 1 o si obtiene
el punto 6, entonces en tal caso
estamos hablando de dos sucesos
que son «mutuamente excluyentes
entre sí», porque en un solo
lanzamiento del dado no pueden
aparecer los dos eventos al
mismo tiempo (o cae 1, o cae 6,
o cae cualquier otro resultado
del dado). Por consiguiente, si
el jugador quiere calcular la
probabilidad de ganar en el
lanzamiento del dado puede
asumir que el evento <i>A</i> es
la aparición del punto 1 del
dado que tiene una probabilidad
de ocurrencia de 1/6, mientras
que el evento <i>B</i> es la
aparición del punto 6 del dado
que tiene una probabilidad de
ocurrencia de 1/6, y por lo
tanto la probabilidad de ganar
se calcula mediante la sumatoria
ya indicada: P(<i>A</i>,<i>B</i>)
= P(<i>A</i>)+P(<i>B</i>) =
1/6+1/6 = 2/6, o lo que es lo
mismo, el jugador para ganar en
el lanzamiento del dado tiene 2
eventos a su favor sobre 6
eventos posibles</span>:</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: Arial; font-size: 100%;">22.- </span><span style="font-family: Arial; font-size: 100%;"><span style="font-family: Arial; font-size: 100%;"><span lang="ES">supongamos que <b>un mazo normal
de 52 cartas</b> es mezclado y
que un jugador puede ganar un
premio si en la primera carta
extraída del mazo aparece un as
(A) o un rey (K), caso en el
cual ambos sucesos también son
mutuamente excluyentes entre sí
porque la carta extraída o tiene
un valor o tiene el otro pero no
puede tenerlos ambos. En
consecuencia, si se asume que el
evento <i>A</i> es la extracción
de cualquier as (A) con una
probabilidad de ocurrencia de
4/52, y el evento <i>B</i> es la
extracción de cualquier rey (K)
que tiene una probabilidad de
ocurrencia de 4/52, entonces la
probabilidad de ganar obteniendo
un as o un rey en un solo ensayo
es de: P(<i>A</i>,<i>B</i>) = P(<i>A</i>)+P(<i>B</i>)
= 4/52+4/52 = 8/52, o lo que es
lo mismo, el jugador para ganar
tiene 8 eventos favorables
(cuatro ases y cuatro reyes)
sobre 52 cartas disponibles en
el mazo</span>.</span></span><br />
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 100%;"><span style="font-size: 100%;">23.- </span></span>1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">A caen 3 puntos o menos o</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">B caen 5 puntos o mas</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Como son Mutuamente excluyentes AnB=0</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">P(AoB)=P(a)+P(B)</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=3/6 + 2/6</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=5/6</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">24.-se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Cual es la probabilidad de:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">A sale un papel azul o</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">B sale un papel rojo</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=10/50 + 15/50</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=25/50</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">=1/2</span></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com19tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-74151966846869082392013-04-28T09:17:00.000-07:002013-04-28T09:17:06.464-07:00PROBABILIDAD CONJUNTA<span style="color: blue; font-family: Impact; font-size: large;">Regla de la
Multiplicación o <a href="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/Glosario.htm#Probabilidadconjunta">Probabilidad Conjunta</a>:</span><span style="font-family: Arial Narrow; font-size: large;"> </span><span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;"> <b>
</b>Esta regla expresa la probabilidad de
que ocurra un suceso A y un suceso
B.</span>
<br />
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;"> Pueden ocurrir
dos formas: que el segundo suceso
depende del primero o que ninguno
dependa del otro, por lo tanto veremos
estas dos formas:</span></div>
<div align="justify">
<b><span style="font-family: Arial Narrow; font-size: large;">Para
sucesos <a href="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/Glosario.htm#DependenciaEstad%C3%ADstica">dependientes</a>: </span></b></div>
<img border="0" height="56" src="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image002.gif" width="172" /><div class="MsoNormal">
<b><span style="color: green; font-family: Arial Narrow; font-size: medium;">
<a href="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/Glosario.htm#Productodeprobabilidades">NOTA:</a> </span></b><span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;"> Si observas
esta regla, puedes darte cuenta que
se relaciona fuertemente con la
Intersección entre conjuntos ( y ), es
una multiplicación.</span></div>
<div align="justify">
<img align="right" alt="spades_ace_md_wht.gif (9178 bytes)" height="72" src="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/images/spades_ace_md_wht.gif" width="51" /></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;"><b>Ejemplo 1:
</b>Se sacan dos cartas sin restitución
( se saca la primera se observa
y no se vuelve a meter ) de una
baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la
probabilidad de que ambas sean reyes ?</span></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;">Sea R = sacar
un rey</span></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;">Observe que lo
que necesitamos es la probabilidad
de sacar un rey en la primera carta
<b>y</b> un rey en la segunda, es decir:</span></div>
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;">
<span style="position: relative; top: 22.0pt;"> <img border="0" height="67" src="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image004.gif" width="208" /></span></span>
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;">
<span style="position: relative; top: 22.0pt;"> <img border="0" height="67" src="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image006.gif" width="207" /></span></span><br />
<div align="justify">
<b><span style="font-family: Arial Narrow; font-size: large;">Para
sucesos <a href="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/Glosario.htm#Independenciaestad%C3%ADstica"> independientes</a>: </span><span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;">
</span></b></div>
<img border="0" height="21" src="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image008.gif" width="163" /><div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;"><b>Ejemplo 2:
</b>Se sacan dos cartas con restitución
una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es
la probabilidad de que ambas sean
corazones ?</span></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: medium;">Sea C = carta
de corazones</span></div>
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;">
<span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"></span></span><br />
<span style="font-family: Arial Narrow; font-size: 12.0pt;"><span style="position: relative; top: 12.0pt;"><img border="0" height="41" src="http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image010.gif" width="264" /> </span></span><br />
<br />
<br />
<br />
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-16858286932072747192013-04-28T08:50:00.000-07:002013-05-01T08:37:58.544-07:00PROBABILIDAD SIMPLE<div align="center">
<center>
<span class="john"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Probabilidad simple</span></span></center>
</div>
<blockquote class="bold">
<center>
<table>
<tbody>
<tr><td><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></td><td><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder</span></td></tr>
<tr><td><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Probabilidad =</span></td><td><hr color="000000" />
</td></tr>
<tr><td><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></td><td><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Cantidad total de posibles resultados</span></td></tr>
</tbody></table>
</center>
</blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: blue;"> 1.- Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
</span></span><br />
<blockquote class="bold">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Solución:
</span><br />
<ul>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">68 ÷ 87 = 0.781609</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)</span></li>
</ul>
</blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">2.-<span style="color: blue; font-size: x-small;"> Calcular
la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:</span></span><br />
<br />
<blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos favorables:
1 (que salga "cara")</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos posibles:
2 (puede salir "cara" o "cruz")</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Probabilidad
= (1 / 2 ) * 100 = <span style="color: red;">50 %</span></span></span></blockquote>
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: blue; font-size: x-small;">3.- Calcular
la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:</span></span><br />
<br />
<blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos favorables:
1 (que salga "3")</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos posibles:
6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Probabilidad
= (1 / 6 ) * 100 = <span style="color: red;">16,6 %</span></span></span></blockquote>
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: blue; font-size: x-small;">4.-Calcular
la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 "
al lanzar un dado:</span></span><br />
<br />
<blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos favorables:
4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados
"1, 2, 3, o 4")</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos posibles:
6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Probabilidad
= (4 / 6 ) * 100 = <span style="color: red;">66,6 %</span></span></span></blockquote>
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: blue; font-size: x-small;">5.-Calcular
la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita
de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:</span></span><br />
<br />
<blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos favorables:
1 (sacar el número 76)</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos posibles:
100 (hay 100 números en la bolsa)</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Probabilidad
= (1 / 100 ) * 100 = <span style="color: red;">1 %</span></span></span></blockquote>
<br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: blue; font-size: x-small;">6.-Calcular
la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98"
al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al
100:</span></span><br />
<br />
<blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos favorables:
98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Casos posibles:
100 (hay 100 números en la bolsa)</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: black; font-size: x-small;">Probabilidad
= (98 / 100 ) * 100 = <span style="color: red;">98 %</span></span></span></blockquote>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="color: blue;">7.-¿Que probabilidades hay de que al lanzar una vez los dados salga 12, o
sea dos seises?</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Bueno, las opciones posibles son 11 (porque no puedes
sacar 1; el menor número que puedes sacar con dos dados es 1 + 1, o sea
2, y el mayor es 6 + 6, o sea 12). Entonces, la probabilidad de que al
lanzarlos una vez te salga 12 es de 1/11: una vez, cada once tiradas.
Esto lo aprovechan los casinos para ganar siempre.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">8.-Supongamos ahora que en tu ciudad hay un millón de coches. Y cada día se
roban 100 coches, es decir 36,500 coches al año.<span style="color: blue;"> ¿Qué probabilidad hay
de que se roben tu coche en un año?</span> Pues 36,500/1,000,000. Este dato
permite a las aseguradoras saber cuánto cobrar por un seguro contra
robo.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">9.-Supongamos que una persona de cada 10 es homosexual
(1/10). ¿Cuántos homosexuales habrá en un grupo de diez personas?
Probablemente uno. ¿Y en un salón de clases donde hay 50 alumnos? Para
calcular la probabilidad multiplica 50 por 1/10. El resultado es 5. Es
probable que cinco de 50 sean homosexuales. </span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">10.-Aproximadamente la mitad de los niños que nacen son varones y la otra
mitad son mujeres. ¿Qué probabilidad hay de que tu primer hijo sea
varón? Pues 1/2. ¿Y de que el segundo también lo sea? También 1/2. ¿Y de
que el tercero también lo sea? Correcto: 1/2. Entonces, ¿qué
probabilidad hay de que los tres sean puros varones? Pues tienes que
multiplicar 1/2 * 1/2 * 1/2, es decir, 1/8. Una de cada ocho familias
con tres hijos tendrá unicamente varones. </span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">11.-<span style="color: blue;">¿Qué probabilidad tengo de sacar el as de picas al escoger una carta de
una baraja?</span></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Hay 52 cartas diferentes, por lo tanto tu probabilidad de
sacar el as de picas (o cualquier carta que elijas) es 1/52.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">12.- </span><br />
<blockquote>
</blockquote>
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></div>
<br />Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-17245023994983532662013-04-28T08:02:00.000-07:002013-05-22T16:36:25.935-07:00TÉCNICAS DE CONTEO<h3 class="post-title entry-title" itemprop="name">
ECNICAS DE CONTEO
</h3>
<div class="post-header">
</div>
<div class="post-body entry-content" id="post-body-4030348518337619365" itemprop="description articleBody">
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método
general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de
un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son
aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.<br />
<div align="left">
<br /></div>
<span style="font-family: TTE17EBF20t00;">Si un evento A <span style="font-family: TTE17EBF20t00;">puede ocurrir de </span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n</span><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;"><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;">1 </span></span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento <span style="font-family: TTE17EA398t00;">B </span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">puede </span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n</span><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;"><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;">2 </span></span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">maneras
diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos
eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a <span style="font-family: TTE17EA398t00;">n</span><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;"><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;">1 </span></span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">x </span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n</span><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;"><span style="font-family: TTE17EA398t00; font-size: xx-small;">2</span></span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">.</span></span></span></span><br />
<br />
<div align="left">
<span style="color: #741b47;">1.-¿De cuántas maneras
pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?</span><br />
<br />
<span style="color: #741b47;"></span></div>
<div align="left">
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer</div>
<div align="left">
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y</div>
<div align="left">
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras</div>
<div align="left">
distintas de repartir los tres premios.</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #6aa84f;">n</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #6aa84f;"></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #6aa84f;">10 x 9 x 8 = 720</span></div>
<br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #741b47;">2.-¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #741b47;">admiten repeticiones.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #6aa84f;">26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000</span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: TTE17EBF20t00;"></span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;"></span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n </span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">un número entero positivo, el producto </span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n </span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">(</span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n</span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">-1) (</span><span style="font-family: TTE17EA398t00;">n</span><span style="font-family: TTE17EBF20t00;">-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.</span><br />
<div align="left">
El símbolo ! se lee<i> factorial</i> <span style="font-family: TTE17EBF20t00;">y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es </span>decir, sea </div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #e06666;">n</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #e06666;">5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #e06666;">Por definición 0! = 1</span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: red;"></span></span> Si
el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es
relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al
tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. </div>
<div style="text-align: left;">
<br />
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el
número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso
listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5
niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: </div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #38761d;"><span style="color: #741b47;">*</span> La técnica de la multiplicación</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #38761d;"><span style="background-color: white; color: #741b47;">*</span> La tecnica aditiva</span><br />
<span style="color: #38761d;"><span style="color: #741b47;">*</span> La tecnica de la suma o Adicion</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #38761d;"><span style="color: #741b47;">*</span> La técnica de la permutación </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #38761d;"><span style="color: #741b47;">*</span> La técnica de la combinación. <br />
<span id="goog_1539895596"></span></span><span id="goog_1539895594"></span><span id="goog_1539895592"></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: red;">PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION</span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: red;"><br />
<span style="color: black;"><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt;">Si
se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el
primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 8pt; vertical-align: sub;">1</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt;"> maneras o formas, el segundo paso de N</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 8pt; vertical-align: sub;">2</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt;"> maneras o formas y el r-ésimo paso de N</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 8pt; vertical-align: sub;">r</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt;"> maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. <span style="font-weight: normal;">El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.</span> </span></span><span style="color: black;">Si
un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede
ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento
Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de
maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y
Ep” es igual a producto.</span><br />
<span style="color: black;"></span></span></span></div>
<div style="margin: 0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="margin: 0pt; text-align: center;">
<span style="color: #38761d;"><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt; font-style: italic; font-weight: bold;">N</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 8pt; font-style: italic; font-weight: bold; vertical-align: sub;">1</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt; font-style: italic; font-weight: bold;"> x N</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 8pt; font-style: italic; font-weight: bold; vertical-align: sub;">2</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt; font-style: italic; font-weight: bold;"> x ..........x N</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 8pt; font-style: italic; font-weight: bold; vertical-align: sub;">r</span><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12pt; font-style: italic; font-weight: bold;"> maneras o formas</span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;">Ejemplo:<br />
3.- Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de
C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta
de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12</span></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;">4.- Una
persona desea construir su casa, para lo cuál considera
que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos
maneras (<a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtml" id="autolink">concreto</a> o block de <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos4/concreto/concreto.shtml" id="autolink">cemento</a>), mientras que las paredes
las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo
puede ser de concreto o lámina galvanizada y por
último los acabados los puede realizar de una sola manera
¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su
casa?
</span>Solución:<br />
Considerando que r = 4 pasos<br />
N1= maneras de hacer cimientos = 2<br />
N2= maneras de construir paredes = 3<br />
N3= maneras de hacer techos = 2<br />
N4= maneras de hacer acabados = 1<br />
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de
construir la casa<br />
El principio multiplicativo, el aditivo y las
técnicas de conteo que posteriormente se tratarán
nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se
puede llevar a cabo una actividad cualquiera.<br />
<br />
<br />
5.-¿Cuántas placas para automóvil pueden ser
diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de
cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0
al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es
posible repetir letras y números, c. Cuántas de las
placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y
empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas
en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la
G.<br />
Solución:<br />
a. Considerando 26 letras
del abecedario y los dígitos del 0 al 9<br />
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas
para automóvil que es posible diseñar<br />
b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x
8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil<br />
c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8
x 7 = 302,400 placas para automóvil<br />
d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8
x 7 = 120,960 placas para automóvil<br />
<br />
<br />
6.-¿Cuántos números telefónicos es
posible diseñar, los que deben constar de seis
dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no
puede ir al inicio de los números y es posible repetir
dígitos, b. El cero no debe ir en la primera
posición y no es posible repetir dígitos, c.
¿Cuántos de los números telefónicos
del inciso b empiezan por el número siete?, d.
¿Cuántos de los números telefónicos
del inciso b forman un número impar?.<br />
Solución:<br />
a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x
10 = 900,000 números telefónicos<br />
b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =
136,080 números telefónicos<br />
c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =
15,120 números telefónicos<br />
d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 =
67,200 números telefónicos</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
<br />
<span style="color: orange;"><span style="color: red;"><span style="color: red;">PRINCIPIO ADITIVO.</span></span></span><br />
<div class="MsoBodyText">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText2">
<span style="color: black;">Si se desea
llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para
ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada
de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N
maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser
realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser
llevada<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a cabo de,</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black;"><span style="mso-tab-count: 1;"> <span style="color: #6aa84f;"> </span></span></span><span style="color: #6aa84f;">M + N + .........+ W<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>maneras o formas</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Ejemplos:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;">
<span style="color: black;">7.- Una
persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que
puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General
Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de
la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en
cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática,
mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de
carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en
solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y
solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar
una lavadora?</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #3d85c6;">Solución:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;">M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;">N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;">W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;"><br />
</span></div>
<h3>
<span style="font-weight: normal;"><span style="color: #bf9000; font-size: x-small;"> M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras</span></span></h3>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;">N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;">W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #bf9000;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="color: #bf9000;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>M + N + W = 16 + 12 + 2</span> = </span><span style="color: #073763;"><u>30 maneras de seleccionar una lavadora</u></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: #073763;"></span><br />
8.- Rafael Luna desea ir a las Vegas o a
Disneylandia en las próximas vacaciones de verano,
para ir a las Vegas él tiene tres <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtml" id="autolink">medios</a> de <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos/transporte/transporte.shtml" id="autolink">transporte</a>
para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte
para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a
Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de
transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene
Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b)
¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a
Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo
medio de transporte en que se fue?.<br />
Solución:<br />
a) V = maneras de ir a las Vegas<br />
D = maneras de ir a
Disneylandia<br />
V = 3 x 2 = 6 maneras<br />
D = 3 x 4 = 12 maneras<br />
V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a
Disneylandia<br />
b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas<br />
<div align="left">
D = maneras de ir y
regresar a Disneylandia</div>
V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras<br />
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras<br />
V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a
Disneylandia en un viaje redondo</div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: red;"></span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br />
<span style="color: black;"><br />
<span style="color: orange;"><span style="color: red;">PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION</span></span></span><br />
<span style="color: black;">Si una primera operación puede realizarse de
m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o
la otra pueden efectuarse de:</span><span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #6aa84f;"> m+n maneras.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;">Ejemplo:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;">9.-Una
pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su
casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo
económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un
modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un
provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la
pareja?</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: blue;">PRESA PLAYAS</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #0b5394;">Económico Residencial</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #0b5394;">Condominio Californiano</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #0b5394;"> Provenzal</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: black;"> </span><span style="color: #6aa84f;"> m=2 n=3</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #6aa84f;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #6aa84f;"> 2+3= 5 maneras</span><br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: red;">PRINCIPIO DE PERMUTACION:</span><br />
<span style="color: orange;"><br />
<span style="color: black;">A diferencia de la formula de la
multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles
arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un
arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n
objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son
permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el
numero total de permutaciones distintas es:</span><br />
<span style="color: black;"> </span><br />
</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: orange;"><span style="color: black;"> <span style="color: #0b5394;">FÓRMULA: n P r = n! (n - r)</span><br />
<br />
<span style="color: black;">Ejemplo: </span></span></span></div>
<span style="color: orange;">
</span>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: orange;"><span style="color: black;"><span style="color: black;">10.-Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?</span><br />
<span style="color: black;"> Aplicando la formula de la permutación tenemos:</span></span></span></div>
<span style="color: orange;">
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;"><br />
</span> </div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: orange;"> </span><span style="color: #38761d;">n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760</span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<span style="color: black;">Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.<br />
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. </span></span></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: black;">11.-¿De cuántas maneras es posible plantar en una
línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos
y tres ciruelos?
</span></span>Solución:<br />
n = 9 árboles<br />
x1 = 2 nogales<br />
x2 = 4 manzanos<br />
x3 = 3 ciruelos<br />
9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los
árboles<br />
<br />
<br />
12.- Si un
equipo de <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos-pdf/aprendizaje-tactico-futbol/aprendizaje-tactico-futbol.shtml" id="autolink">fútbol</a> soccer femenil participa en 12 <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos15/metodos-creativos/metodos-creativos.shtml" id="autolink">juegos</a> en
una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre
esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates
y 2 juegos perdidos?<br />
Solución:<br />
n = 12 juegos<br />
x1 = 7 victorias<br />
x2 = 3 empates<br />
x3 = 2 juegos perdidos<br />
<br />
13.- ¿Cuántas claves de acceso a una computadora
será posible diseñar con los números
1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves
anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?,
c. ¿cuántas de las claves del inciso a
empiezan por el número dos y terminan por el número
tres?<br />
Solución:<br />
a. n = 8 números<br />
x1 = 3 números uno<br />
x2 = 1 número dos<br />
x3 = 4 números
cuatro<br />
8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso<br />
14.-¿Cuántas maneras hay de
asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos13/indicrea/indicrea.shtml" id="autolink">creatividad</a>
que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay
14 participantes?<br />
Solución:<br />
Haciendo uso del principio multiplicativo,<br />
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros
tres lugares del concurso<br />
<br />
15.-
¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles
formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario,
Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta
representación puede ser formada de entre 25 miembros del
<a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos14/sindicato/sindicato.shtml" id="autolink">sindicato</a> de una pequeña <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml" id="autolink">empresa</a>.
<br />
Solución:<br />
Por principio multiplicativo:<br />
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una
representación de ese sindicato que conste de presidente,
secretario, etc., etc.<br />
Por Fórmula:<br />
n = 25, r = 5<br />
25P5 <i>=</i> 25!/ (25 -5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x
23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=<br />
=
6,375,600 maneras de formar la representación<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: orange;"><span style="color: black;"> </span><br />
<br />
<br />
<span style="color: orange;"><span style="color: red;">PRINCIPIO DE COMBINACION:</span></span><br />
<span style="color: orange;"><span style="color: red;"></span><br />
<span style="color: black;">En una permutación, el orden de los objetos
de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es
importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por
ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas
seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos
funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán
permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones
definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán
combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:</span></span><br />
</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: orange;"><span style="color: #b45f06;">Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB</span></span></div>
<span style="color: orange;">
</span>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: orange;"><span style="color: #b45f06;">Combinaciones: AB, AC, BC</span></span></div>
<span style="color: orange;">
<br />
<span style="color: black;">Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.</span><br />
<span style="color: black;">La fórmula de combinaciones es:</span><br />
<br />
<span style="color: orange;"> </span><span style="color: #0b5394;">n C r = n! r! (n – r)!</span><br />
<br />
<span style="color: black;">Ejemplo: </span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: black;">16.-En una compañía se quiere
establecer un código de colores para identificar cada una de las 42
partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7
cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación
de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para
identificar las 42 partes del producto?</span><br />
<span style="color: black;">Usando la fórmula de combinaciones:</span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: orange;"><span style="color: black;"> </span><br />
</span><br />
<div align="center">
<span style="color: orange;"><span style="background-color: white; color: #38761d;">n C r = n! = 7! = 7! = 35</span></span></div>
<span style="color: orange;">
</span>
<div align="center">
<span style="color: orange;"><span style="background-color: white; color: #38761d;"> r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!</span></span></div>
<span style="color: orange;">
<div align="center">
</div>
<div align="center">
</div>
<div align="center">
</div>
</span>17.-Si
se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una
campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza
podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada
uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres,
¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3
mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza
contarán con 4 hombres por lo menos?
Solución:<br />
a. n = 14, r = 5<br />
14C5
= 14! / (14 - 5 )!5! = 14! / 9!5!<br />
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/
9!5!<br />
= 2002 grupos<br />
18.-Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que
contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y
grupos mixtos, con hombres y mujeres.<br />
b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres),
r = 5<br />
En este caso nos interesan aquellos grupos que
contengan 3 mujeres y 2 hombres<br />
8C3*6C2 = (8! / (8 -3)!3!)*(6! / (6 - 2)!2!)<br />
= (8! / 5!3!)*(6! /
4!2!)<br />
= 8 x7 x 6 x 5 /2!<br />
= 840 grupos con 3 mujeres y
2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5
personas<br />
c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4
hombres o más<br />
Los grupos de <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml" id="autolink">interés</a> son = grupos con 4 hombres
+ grupos con 5 hombres<br />
=
6C4*8C1 + 6C5*8C0
= 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 =
126<br />
<br />
19.-Para
contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12
preguntas,<br />
a. ¿Cuántas maneras tiene
el alumno de seleccionar las 9 preguntas?,<br />
b. ¿Cuántas maneras tiene
si forzosamente debe contestar las 2 primeras
preguntas?,<br />
c. ¿Cuántas maneras tiene
si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?,<br />
d .¿Cuántas maneras tiene
si debe contestar como máximo una de las 3 primeras
preguntas?<br />
Solución:<br />
a. n = 12, r = 9<br />
12C9 = 12! / (12 - 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 /
3!<br />
= 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o
dicho de otra manera,<br />
el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de
9 preguntas para contestar el examen<br />
b. 2C2*10C7 = 1 x 120 =
120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que
están las dos primeras preguntas<br />
c. 3C1*9C8 = 3 x 9 =
27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que
está una de las tres primeras preguntas<br />
d. En este caso debe
seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas<br />
3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9)
= 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a
contestar<br />
<br />
<br />
20.- Una
señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene,
a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b.
¿cuántas maneras tiene si entre ellos está
una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el
otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si
Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?<br />
Solución:<br />
a. n = 11, r = 5<br />
11C5 = 11! / (11 - 5 )!5!
= 11! / 6!5!<br />
= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5!<br />
= 462 maneras de invitarlos<br />
Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco
personas para ser invitadas a cenar.<br />
<span style="color: orange;"></span><br />
<div align="center">
</div>
<span style="color: orange;">
</span>
<div align="center">
</div>
<span style="color: orange;">
</span></div>
</div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-45742118841841838412013-04-21T14:48:00.000-07:002013-04-23T17:49:39.219-07:00PROBABILIDAD<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">1.-Se lanza un dado.
</span><br />
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}</span></div>
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos
muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.</span></div>
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A =
{resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}</span></div>
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes
eventos? A = {resultado menor o igual a
4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5}
sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente
excluyentes.</span></div>
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.</span></div>
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes
eventos? A =
{obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo
lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en
el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.</span></div>
<div align="JUSTIFY">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></div>
<div align="JUSTIFY">
<h4>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></h4>
</div>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">2) En una tómbola
hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de
sacar una blanca y después una negra? <br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />a) Si hay reposición,
esto es, después de sacar la primera bolita, ésta se devuelve a
la tómbola. <br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />b) Si no hay reposición,
esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se devuelve
a la tómbola.</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />a)
En este caso los eventos son independientes ya que al reponer la bolita la ocurrencia
de un evento no afecta al otro. Sean los eventos A:
"sacar una bolita blanca" y B: "sacar una bolita negra",
entonces, usando:<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B)=P(A)•P(B),
P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B)=2/5•3/5=6/25
</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />b)
Si no hay reposición, los eventos son dependientes ya que la bolita no es
repuesta a la tómbola, por lo que ocupamos:<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">3) Repita el
problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de
sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />a)
Si hay reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta se devuelve a
la tómbola <br />
<img height="3" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />b) Si no hay reposición,
esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se
devuelve a la tómbola.</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />a)
Usando la definición, el número total de casos posibles es 5•5=25 y el número
de casos favorables es 2•3+3•2=12(una blanca y una negra
ó una negra<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />y una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,
<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />usando las propiedades,<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después negra) + P(sacar negra)•P(sacar
después blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />b)
Número de casos posibles: 5•4=20 y el número de casos favorables =2•3+3•2=12,
luego,<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(B)=12/20=3/5=60%. O bien, usando las
propiedades <br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar
negra/sabiendo que ha salido blanca) +P(sacar
negra)•P(sacar<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />blanca/sabiendo que ha salido negra) =2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">4) Para obtener
licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como
el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es
0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado
alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es
la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia?</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />Sea
A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />Sea B: aprobar la parte
práctica, (P(B)=0,72)<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />Debemos calcular la
prob. de A y B, P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B).<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />Usando P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/union.gif" width="8" />B)
= P(A)+P(B)-P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B), despejamos
P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B):<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B)=P(A)+P(B)-P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/union.gif" width="8" />B)
y reemplazando,<br />
<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/spacer2.gif" width="20" />P(A<img height="8" src="http://www.jfinternational.com/images/interc.gif" width="11" />B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">5.- dispone de tres cajas con bombillas. La
primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la
segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera
caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la
probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de
las cajas, esté fundida?
</span></span><br />
<div class="actividades_2">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="árbol" height="350" src="http://www.ditutor.com/probabilidad/images/56.gif" width="251" /></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img alt="solución" height="42" src="http://www.ditutor.com/probabilidad/images/57.gif" width="317" /> </span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">6. Se extrae una <a class="autolink" href="http://www.blogger.com/null" id="autolink">carta</a> de una
baraja española de 40 <a class="autolink" href="http://www.blogger.com/null" id="autolink">cartas</a>. Si
<a class="autolink" href="http://www.blogger.com/null" id="autolink">la carta</a>
extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I; en caso
contrario a la urna II. A continuación, extraemos una
bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5
negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras.
Halla:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca
y de la urna II</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">b) La probabilidad de que la bola extraída sea
negra.
</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="587" src="http://www.monografias.com/trabajos17/soluciones-probabilidad/Image7058.gif" width="587" /></span><br />
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">7.- En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan
integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20%
consume ambos. Se pide:</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">I) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿
cuál es la probabilidad de que coma pan de
multicereales?</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">II) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales,
¿cuál es la probabilidad de que no consume pan
integral?</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">III) ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de
pan?
</span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>SOLUCION:</b></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="218" src="http://www.monografias.com/trabajos17/soluciones-probabilidad/Image7059.gif" width="585" /></span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">8.El equipo directivo de cierta <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml" id="autolink">empresa</a> del
sector de hostelería está constituido por 25
personas de las que un 60% son mujeres. El <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos3/gerenylider/gerenylider.shtml" id="autolink">gerente</a>
tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que
represente a <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml" id="autolink">la empresa</a> en
un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale
cara, selecciona a una mujer y si sale cruz, a un <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos15/fundamento-ontologico/fundamento-ontologico.shtml" id="autolink">hombre</a>.</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no
hablan <a class="autolink" href="http://www.monografias.com/trabajos16/manual-ingles/manual-ingles.shtml" id="autolink">inglés</a>, determina, justificando la
respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada
hable inglés.
</span><br />
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="538" src="http://www.monografias.com/trabajos17/soluciones-probabilidad/Image7061.gif" width="587" /></span><br />
<div align="center">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><a href="http://www.terra.es/personal2/jpb00000/pprobjunio99.htm/tDocumento#Problema9">
Enunciado</a></span></div>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><img height="195" src="http://www.monografias.com/trabajos17/soluciones-probabilidad/Image7062.gif" width="588" /></span><br />
<br />
<div class="subject">
<b><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">9. ¿se lanzan dos dados correctos. calcular la probabilidad del suceso, los numeros obtenidos no suman 4?</span></span></b></div>
<b><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></b>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b> </b>Probabilidad = Casos Favorables / Espacio muestral</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Espacio muestral: </span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Debemos combinar los valores de cada dado para hallar el espacio muestral, esto se halla de la siguiente forma:</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
6 x 6 = 36</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Casos favorables:</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Son todos los casos en que la suma de los dados es diferente de 4, para
esto debemos hallar primero en cuantos casos la suma es igual a 4</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
1+3, 2+2, 3+1</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Son 3 casos no favorables, entonces los casos favorables son: </span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
36 - 3 = 33</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Ahora vamos con la probabilidad:</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
P = 33/36 = 11/12</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
Entonces la probabilidad del suceso es igual a 11/12</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">10. </span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)<br />
<br />
68 ÷ 87 = 0.781609</span></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">11.</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20
peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la
canasta?</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es
decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una
manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas.
Así, aplicando la fórmula obtenemos que:</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><br /><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.</span></div>
<h3>
<b><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"></span></b></h3>
<b><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></b><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">12.</span>
<br />
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> </span><br />
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11pt; line-height: 115%;"></span>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-85752772757281613542013-04-21T14:15:00.004-07:002013-04-21T14:15:51.439-07:00CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD<div align="JUSTIFY">
<b>Experimento aleatorio:</b> conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Espacio muestral:</b> conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Punto muestral o suceso elemental:</b> el resultado de una sola prueba de un experimento muestral</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Suceso o evento:</b> cualquier subconjunto de puntos muestrales</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Sucesos mutuamente excluyentes:</b> sucesos o eventos que no
pueden ocurrir simultaneamente
.</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Sucesos complementarios: </b>dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Sucesos independientes:</b> sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro</div>
<div align="JUSTIFY">
<b>Sucesos dependientes:</b> sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del
otro.</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-66265990594228246442013-04-21T14:10:00.001-07:002013-04-21T14:10:06.419-07:00EJERCICIOS DE PERMUTACIONES<div class="actividades_g">
<span class="numero_r">1. </span> ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.? </div>
<div class="actividades_2_r">
m = 5 n = 5 </div>
<div class="actividades_2_v">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.</div>
<div class="actividades_2_r">
<strong>Sí</strong> importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. </div>
<div class="actividades_2_g">
<strong>No</strong> se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. </div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="Permutaciones" height="24" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/12.gif" width="222" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">2. </span> ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?</div>
<div class="actividades_v">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. </div>
<div class="actividades_r">
<strong>Sí</strong> importa el orden.</div>
<div class="actividades_g">
<strong>No</strong> se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir. </div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="permutaciones" height="24" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/14.gif" width="137" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">3. </span> ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="Permutaciones circulares" height="26" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/16.gif" width="268" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">4. </span> Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?</div>
<div class="actividades_2_r">
m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<strong>Sí</strong> importa el orden. </div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<strong>Sí </strong>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="Permutaciones con repetición" height="45" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/18.gif" width="224" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">5. </span>Con las letras de la palabra <strong>libro</strong>, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?</div>
<div class="actividades_r">
La palabra empieza por <strong>i</strong> u <strong>o</strong> seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<strong>Sí</strong> importa el orden.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<strong>No </strong>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="72" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/26.gif" width="342" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">6. </span>¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<strong>Sí</strong> importa el orden.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<strong>No </strong>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/31.gif" /></div>
<div class="actividades_g_ir" style="margin-top: 30px;">
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="72" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/310.gif" width="342" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">7. </span>
En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas,
dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse
con la colocación de las nueve banderas? </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<strong>Sí</strong> importa el orden.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<strong>Sí </strong>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="Permutaciones con repetición" height="45" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/18_1.gif" width="224" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">8. </span>¿De
cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición
distinta que la portería?</div>
<div class="actividades_r">
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<strong>Sí</strong> importa el orden.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<strong>No </strong>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="24" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/27.gif" width="420" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">9. </span>Una
mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas
distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van
juntos?</div>
<div class="actividades_r">
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<strong>Sí</strong> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<strong>Sí</strong> importa el orden.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<strong>No </strong>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="24" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/28.gif" width="377" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">10. </span>Cuatro
libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos
diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas
distintas es posible ordenarlos si:</div>
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">1. </span>Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<img alt="solución" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/36.gif" width="174" /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span class="actividades_2_g_ir"><img alt="solución" height="24" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/360.gif" width="314" /></span></div>
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">2.</span>Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<span class="actividades_2_g_ir"><img alt="solución" height="25" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/361.gif" width="188" /></span></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<span class="actividades_2_g_ir"><img alt="solución" height="24" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/362.gif" width="218" /></span></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">11. </span>Se
ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si
las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas
posibles pueden ordenarse? </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="45" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/37.gif" width="209" /> </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
12.¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras “diferentes” seguidas de 3 dígitos diferentes? <br />
Observemos que necesitamos tomar de 26 letras 2 (diferentes), es decir
26P2= 25*26 =650, luego de 10 dígitos hay que tomar 3 lo cual es
10P3=720, entonces, de acuerdo con el principio de conteo, el número
total es 650*720=468,000</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br />
13.¿Si el primer número no puede ser cero? Necesitamos considerar el caso
solo que del primero solo hay nueve formas de tomarlo, del segundo
número y tercero hay 9P2=72, lo que da: 650*72*9=421,200 <br /> </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
14. De A a B hay 6 caminos y de B a C 4: <br />
¿De cuántas maneras se puede ir a c pasando por b? 6*4=24 <br />
¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje ida y vuelta? =6*4*6*4=576 <br />
¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta sin pasar por los mismos caminos? 6*4*3*5=360 </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br />
15.Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán
si uno de tres debe manejar: Tenemos 6 personas 3 conducen y 3 van de
pasajeros, Entonces para el sitio del conductor hay 3 posibilidades,
para el siguiente hay 5, para el otro 4 y así, entonces hay 5!*3=360
formas de hacerlo. <br /> </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
16.Hallar el número de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una fila: 5!=120 formas, <br />
¿Cuántas habría si dos personas insisten en sentarse una junto a la
otra? Consideremos que si los dos se sientan juntos, se pueden
considerar como una sola persona en 4 asientos, así que sería 4!=24
formas, pero si permutamos el orden en que se sientan, tendríamos el
doble de posibilidades es decir 48 formas. </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
17. Si nueve estudiantes toman un examen y todos obtienen diferente
calificación, cualquier alumno podría alcanzar la calificación más alta.
La segunda calificación más alta podría ser obtenida por uno de los 8
restantes. La tercera calificación podría ser obtenida por uno de los 7
restantes.
</div>
La cantidad de permutaciones posibles sería: P(9,3) = 9*8*7 = 504 combinaciones posibles de las tres calificaciones más altas.<br />
<br />
18.¿<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span>Cuantas
representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de
Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta
representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una
pequeña empresa.
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>Solución:</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText">
Por principio multiplicativo:<span style="font-weight: normal;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>25 x 24 x 23 x 22 x 21 =
6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de
presidente, secretario, etc., etc.</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText">
Por Fórmula:</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>n = 25,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>r = 5</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><sub><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">25</span></sub></b><b><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">P<sub>5</sub> <i>= </i>25!/ (25 –5)! = 25! /
20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;"><span style="mso-spacerun: yes;">
</span></span>= 6,375,600 maneras de formar la representación</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />19.¿Cuántas maneras
diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en
una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los
autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de
asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>Solución: </b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>a. Por principio
multiplicativo:</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=
40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes
en la carrera</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText">
Por Fórmula:</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>n = 8,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>r = 8</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><sub>8</sub>P<sub>8</sub>= 8!
= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de
salida ......etc., etc.</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
20.-¿Cuántos
puntos de tres coordenadas<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>( x, y, z ),
será posible generar con<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>los dígitos 0,
1, 2, 4, 6 y 9?, Si,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a. No es posible
repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.<b>
</b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>Solución:</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>a. Por fórmula</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b>n = 6,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>r = 3</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub>6</sub>P<sub>3</sub> = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4
x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles</b></div>
<b><br /></b><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b> </b></div>
<br />
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com91tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-25734460834827710342013-04-21T14:00:00.000-07:002013-04-21T14:00:56.907-07:00EJERCICIOS DE CONBINACIONES<div class="actividades_g">
<span class="numero_r">1. </span> En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<b>No</b><b> </b> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<b>No</b><b> </b>importa el orden: Juan, Ana.</div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<b>No</b><b> </b>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="Combinaciones" height="45" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/22.gif" width="204" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">2. </span>¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<b>No</b> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<b>No </b>importa el orden. </div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<b>No </b>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="52" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/29.gif" width="144" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">3. </span>A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<b>No </b> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<b>No </b>importa el orden. </div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<b>No </b>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/34.gif" width="138" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">4. </span>En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? </div>
<div class="actividades_2_v">
<b>No</b><b> </b> entran todos los elementos. Sólo elije 4..</div>
<div class="actividades_2_r">
<b>No</b><b> </b>importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.</div>
<div class="actividades_2_g">
<b>Sí</b><b> </b>se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. </div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="53" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/23.gif" width="258" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">5. </span>¿Cuántas
apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para
asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<b>No </b> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<b>No </b>importa el orden. </div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<b>No </b>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="49" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/41.gif" width="282" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">6. </span>¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?</div>
<div class="actividades_r">
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<b>No </b> entran todos los elementos.</div>
<div class="actividades_2_r_ir">
<b>No </b>importa el orden. </div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<b>No </b>se repiten los elementos.</div>
<div class="actividades_r">
Son <img alt="combinaciones" class="i" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/0_11.gif" width="24" />, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="42" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/32.gif" width="272" /></div>
<div class="actividades_2_g_ir">
<img alt="solución" height="45" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/320.gif" width="240" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">7. </span>Un
grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5
hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:</div>
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">1. </span> Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/38.gif" width="181" /></div>
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">2. </span>Una mujer determinada debe pertenecer al comité.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/380.gif" width="180" /></div>
<div class="actividades_r">
<span class="numero_v">3. </span>Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/381.gif" width="170" /></div>
<div class="actividades_g" style="margin-top: 50px;">
<span class="numero_r">8. </span>Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<img alt="solución" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/pro/1/images/39.gif" width="376" /> </div>
<div class="actividades_2_v_ir">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v_ir">
9.Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿cuántos
productos diferentes puedo conseguir si las tomo de 2 en dos y cuáles
son los factores?
</div>
<b><i>Respuesta</i>: 21 productos y son:</b> <br />
<div align="center">
<img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria81.jpg" height="51" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria81.jpg" width="582" /></div>
Solución<br />
<div align="center">
<img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria82.jpg" height="62" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria82.jpg" width="453" /></div>
<div align="justify">
<b>Nota.- <i>Cada grupo debe tener un elemento
distinto para que los productos sean diferentes. El orden de los
factores no cambia el resultado del producto.</i></b></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
10. ¿De cuántas formas puedo agrupar los números 1, 2, 3, 4 y 5 constando cada uno por 3 elementos? <br />
Se desea ver cada número formado.</div>
<div align="justify">
<b><i>Respuesta</i>: 35 números que son:<br />
</b><b>111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144<br />
145 155 222 223 224 225 233 234 235 244 245 255 333<br />
334 335 344 345 355 444 445 455 555<br />
</b><br />
11.<b> </b>¿Cuántas combinaciones puedes hacer con las
cifras 1, 2, 3, 4, y 5 tomadas de 3 en 3 de modo que el número 3 se
halle en todos los grupos?</div>
<b><i>Respuesta</i>: 6</b><br />
Solución<br />
Con las cinco cifras puedes hacer 10 números diferentes de 3 cifras cada uno: <br />
<div align="center">
<img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria87.jpg" height="60" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria87.jpg" width="384" /></div>
Cada uno de los 10 números tiene 3 cifras lo que hacen un total de 30 cifras.<br />
<div align="justify">
De las 30 cifras, 6 corresponderán al 1, 6 al 2, 6 al 3, etc., y esto quiere decir, que habrá: <img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria88.jpg" height="52" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria88.jpg" width="62" /> números que contienen a cada una de ellas: 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345<br />
Podrás comprobar 6 números contienen el 1<br />
6 números contienen el 2<br />
6 números contienen el 3<br />
6 números contienen el 4<br />
6 números contienen el 5</div>
<b><i><br /></i></b>
12. <b> </b>¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa?<br />
<b><i>Respuesta</i>:</b><img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria89.jpg" height="25" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria89.jpg" width="94" /><br />
<br />
<br />
13. <b> </b>¿Cuántas quinielas de fútbol tengo que rellenar para sacar una de 14?<br />
<b><i>Respuesta</i>:</b>
<img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria90.jpg" height="28" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria90.jpg" width="185" /><br />
<div align="justify">
Solución<br />
En cada partido, un equipo puede: ganar, empatar o perder y esto se repite en 14 partidos, luego tendremos: </div>
<div align="center">
<img data-cfloaded="true" data-cfsrc="teoriacombinatoria91.jpg" height="32" src="http://www.aulafacil.com/matematicas-teoria-combinatoria/curso/teoriacombinatoria91.jpg" width="290" /> </div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="JUSTIFY">
14. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para
realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar? <i>
</i></div>
Se trata de formar todas las ternas posibles, sin repetir elementos en cada una, y sin
importar el orden de los elementos.<br />
<i>
</i>Si quisiéramos formar todas las ternas posibles, sin repetición de elementos en cada
una, para elegir el primer elemento hay 21 posibilidades, para el segundo quedan 20
posibilidades, y para el tercero 19 posibilidades, por lo tanto el número de ternas
posibles está dado por: 21* 20*19 = 7980 <br />
<i>
</i>Pero en este caso cada terna aparece repetida en distinto orden, por ejemplo tendremos:
ABC, ACB, BAC, CAB y CBA. Son seis ternas con los mismos elementos, que está dado por el
factorial de 3.<br />
<i>
</i>Por lo tanto el total de ternas obtenido 7980, hay que dividirlo por 6<br />
<i>
</i><br />
<div align="CENTER">
<b>7980/6 = 1330</b></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<br />
<div align="justify">
<br /></div>
<br />
<div class="actividades_g" style="margin-top: 20px;">
15.-En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? </div>
<div class="actividades_2_v">
<b>No</b><b> </b> entran todos los elementos. Sólo elije 4..</div>
<div class="actividades_2_r">
<b>No</b><b> </b>importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.</div>
<div class="actividades_2_g">
<b>Sí</b><b> </b>se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. </div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
</div>
<div class="actividades_2_v_ir" style="margin-top: 30px;">
<img alt="solución" height="53" src="http://www.ditutor.com/combinatoria/images/23.gif" width="258" /></div>
<br />
<br />
<br />
16. ¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?<br />
<ul><br />
Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en
cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de
esa parte. Estas puntuaciones van de blanca (0 puntos) a 6. Tenemos
pares de puntuaciones de 0 a 6.<br />
El total de fichas será <img align="absmiddle" height="48" src="http://www.ematematicas.net/imagenes/recuento63.gif" width="237" /></ul>
17. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?. <br />
<ul><br />
Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.<br />
Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos
los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.</ul>
<ul></ul>
<ul></ul>
<ul></ul>
<ul></ul>
<ul></ul>
<ul></ul>
<ul><img height="48" src="http://www.ematematicas.net/imagenes/recuento64.gif" width="202" /> </ul>
18.De un grupo de 7 personas se seleccionan 3 para un equipo , cuantos equipos se pueden hacer:<br />
como no hay orden son combinaciones)<br />
C de 7 en 3= 7 * 6* 5 / 3 * 2 *1 = 210 / 6 = 35 equipos<br />
<br />
19.Un examen consta de 10 preguntas de las cuales solo se pueden elegir
8, de cuantas maneras se puede resolver el examen: (como no hay orden
son combinaciones)<br />
C de 10 en 8= 10*9*8*7*6*5*4*3 / 8*7*6*5*4*3*2*1 = 1814400/ 40320 = 45 maneras<br />
<br />
<br />
20. Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
<br />
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
<br />
<ul><br /></ul>
<ul><br /></ul>
<div class="actividades_2_v_ir">
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com33tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-49919819890401884492013-04-21T13:36:00.000-07:002013-04-21T14:01:08.730-07:00PEMUTACIONES Y CONBINACIONESUna permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que orden sí
importa. Para encontrar el número de permutaciones de <i>n</i> objetos
diferentes en grupos de <i>r</i>, se usan las siguientes fórmulas:<br />
<center>
<table style="width: 421px;">
<tbody>
<tr>
<td valign="middle" width="97"></td><td valign="middle" width="97"><img border="0" height="45" src="http://www.amschool.edu.sv/paes/permutacion1.gif" width="92" /></td>
<td width="242">Cuando no se permite repetición</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<table><tbody>
<tr>
<td valign="middle""" width="62"><img border="0" height="25" src="http://www.amschool.edu.sv/paes/permutacion2.gif" width="59" /></td>
<td>Cuando se permita repetición</td>
</tr>
</tbody></table>
</center>
Una combinación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden no importa. Para encontrar el número de combinaciones de <i>n</i> objetos en grupos de <i>r</i>, se usa la siguiente fórmula:<br />
<a href="http://www.blogger.com/null">
</a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="http://www.amschool.edu.sv/paes/ult1.gif" /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7700307962406685812.post-1865696452823057052013-04-10T18:33:00.000-07:002013-04-21T13:30:34.353-07:00TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
</div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos. </span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
<b> </b></span></li>
</ul>
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></h2>
<div style="text-align: center;">
<h2>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Conceptos básicos de la teoria de conjuntos</b> </span></h2>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
</div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Conjunto:</b> Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad
vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
<br />
Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad
enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de
objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br /></span>
</li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Relación de Pertenencia:</b> El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos
entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.<br />
Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero
puede ser o no un conjunto. </span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Conjunto:</b> Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad
vista como unidad; entidad completa bien determinada.
<br />
Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
<br />
Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad
enunciada por medio de un lenguaje preciso.
<br />Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de
objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
<br /> </span></li>
</ul>
<h2 style="text-align: center;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7700307962406685812" name="3"><b>Colecciones: Clases y Conjuntos.
</b>
</a></span>
</h2>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada
por una propiedad <b>P</b> formulada en un lenguaje preciso. Una <b>clase </b>es una colección, cuyos objetos son los
objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad <b>P</b> que caracteriza a la colección.
</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en
el siguiente sentido: <i> Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.</i></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Proposición.</b>
</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><i>La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto.
</i></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span>
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>
Prueba.
</b>
<br />
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle <b>R</b>. Entonces:
</span>
</div>
<ol style="text-align: justify;">
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Si <b>R</b> no pertenece a <b>R</b>, <b>R</b> cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que <b>R</b> pertenece a <b>R</b>.
</span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Si <b>R</b> pertenece a <b>R</b>, entonces <b>R</b> no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que <b>R</b> no pertenece a <b>R</b>. </span></li>
</ol>
<h2 style="text-align: center;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span class="mw-headline" id=".C3.81lgebra_de_conjuntos">Álgebra de conjuntos</span></span></h2>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></div>
<div class="noprint AP rellink" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 88%;"></span><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Existen unas operaciones<b> </b>básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Unión.</b> La unión de dos conjuntos <i>A</i> y <i>B</i> es el conjunto <i>A</i> ∪ <i>B</i> que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Intersección.</b> La intersección de dos conjuntos <i>A</i> y <i>B</i> es el conjunto <i>A</i> ∩ <i>B</i> que contiene todos los elementos comunes de <i>A</i> y <i>B</i>.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Diferencia.</b> La diferencia entre dos conjuntos <i>A</i> y <i>B</i> es el conjunto <i>A</i> \ <i>B</i> que contiene todos los elementos de <i>A</i> que no pertenecen a <i>B</i>.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Complemento.</b> El <a href="http://www.blogger.com/null" title="Complemento de un conjunto">complemento</a> de un conjunto <i>A</i> es el conjunto <i>A</i><sup>∁</sup> que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a <i>A</i>.</span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</span></div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Diferencia simétrica</b> La <a href="http://www.blogger.com/null" title="Diferencia simétrica">diferencia simétrica</a>
de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><b>Producto cartesiano.</b> El <a href="http://www.blogger.com/null" title="Producto cartesiano">producto cartesiano</a> de dos conjuntos <i>A</i> y <i>B</i> es el conjunto <i>A</i> × <i>B</i> que contiene todos los <a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/null" title="Pares ordenados">pares ordenados</a> (<i>a</i>, <i>b</i>) cuyo primer elemento <i>a</i> pertenece a <i>A</i> y su segundo elemento <i>b</i> pertenece a <i>B</i>.</span></li>
</ul>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/11977097683261715381noreply@blogger.com0